Преобразование графиков элементарных функций. Движение функций по осям координат Параллельный перенос графиков функций
, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c .
Воспитательная: умение работать в группе, организованности.
Развивающая : навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.
Структура урока
- Организационный момент – 3 минуты.
- Исследовательская работа – 20 минут.
- Закрепление изученного материала – 15 минут.
- Рефлексия – 2 минут.
- Итог урока – 3 минуты.
- Домашнее задание – 2 минуты.
Ход урока
1. Организационный момент.
Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, c на график функций вида y=x 2 +с, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c.
Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).
Каждая группа получает план исследования <Приложение>, лист формата А3 для оформления результатов.
2. Исследовательская работа
.Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x 2 +с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b) 2 , одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b) 2 +c. Группа “Экспертов” исследует все функции.
| Функция | Результат | ||
| 1 группа | у=x 2 +3; | <Рисунок 10> |  |
| 2 группа | у=x 2 -5; | <Рисунок 11> |  |
| 3 группа | у=(х-4) 2 ; | <Рисунок 12> |  |
| 4 группа | у=(х-2) 2 +3. | <Рисунок 13> |  |
План работы
- Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
- Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х 0 , y 0), задайте таблицей 4 точки).
- Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x 2 .
- Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
- Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.
“Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.
Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.
Любую квадратичную функцию y=ax 2 +bx+c, можно записать в виде y=a(x-x 0) 2 +y 0, где x 0 и y 0 выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x 0 , c=y 0 являются координатами вершины параболы.
3. Закрепление изученного материала.
Фронтальная работа с классом.
1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).
Коэффициент b |
Нет ошибки |
Рисунок 1 |
Рисунок 2 |
 |
 |
| у=(х+5) 2 -1 | у=(х-2) 2 +2 |
| Коэффициент b и с | Коэффициент b |
| Рисунок 3 | Рисунок 4 |
 |
 |
Результаты
<Рисунок 7>
<Рисунок 2>
<Рисунок 8>
<Рисунок 9>
Какой коэффициент вам помог найти ошибку?
2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд №10) .
Рисунок 5
4. Рефлексия.
Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:
– Какие ошибки допустили группы?
– Достигнута ли цель занятия?
– Соответствуют ли полученные результаты исследования поставленной гипотезе?
5. Итог урока (слайд №11)
:На положение графика функции y=(x-b) 2 +c влияют коэффициенты b и c,
“+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на b единичных отрезков,
“–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на b единичных отрезков,
“+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на с единичных отрезков,
“-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с единичных отрезков.
6. Домашнее задание
- Построить график квадратичной функции, имеющую вершину в точке А(1;-2), коэффициент a=1.
- Подумайте, в какой области можно использовать знания по данной теме (практическое применение).
Параллельный перенос.
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => f(x) - b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше - при b 0 или вверх при b Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a
Примеры:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Отражение.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Ординаты графика функции y = - f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = - f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.
Примеры:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Деформация.
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => k f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k Для построения графика функции y = k f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1
- растяжение от оси Ох
0 - сжатие к оси OX
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(k x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
k > 1
- сжатие к оси Оу
0 - растяжение от оси OY
Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014
Зависимость вида +=
Графиком данного уравнения является окружность на координатной плоскости x Oy с центром в точке O(a;b) и радиусом r (r>0).
График данного уравнения нельзя назвать графиком функции, т.к. нарушается определение функции: каждому значению x соответствует единственное значение y.
Движение функций по осям координат
где l - заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц масштаба влево.
Чтобы построить график функции
где l - заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц масштаба вправо.
Чтобы построить график функции
где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вверх.
Чтобы построить график функции y=f(x)-m, где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вниз.
Алгоритм 1 построения графика функции y=f(x+l)+m:
- 1. Построить график функции y=f(x).
- 2. Осуществить параллельный перенос графика y=f(x) вдоль оси x на единиц масштаба влево, если l>0, и вправо, если l
- 3. Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси y на единиц масштаба вверх, если
Алгоритм 2 построения графика функции y=f(x+l)+m:
- 1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя пунктиром вспомогательные прямые x=-l, y=m, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку (-l;m).
- 2. Новой системе координат привязать график функции y=f(x).
Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.
Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2 , графиком которой является парабола y = x 2 , которая сжата втрое относительно О у и симметрична относительно О х, причем сдвинутую на 2 3 по О х вправо, на 2 единицы по О у вверх. На координатной прямой это выглядит так:
Геометрические преобразования графика функции
Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b , когда k 1 > 0 , k 2 > 0 являются коэффициентами сжатия при 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 > 1 , k 2 > 1 вдоль О у и О х. Знак перед коэффициентами k 1 и k 2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по О х и по О у.
Определение 1
Существует 3 вида геометрических преобразований графика :
- Масштабирование вдоль О х и О у. На это влияют коэффициенты k 1 и k 2 при условии не равности 1 , когда 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 > 1 , k 2 > 1 , то график растягивается по О у и сжимается по О х.
- Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака « - » перед k 1 симметрия идет относительно О х, перед k 2 идет относительно О у. Если « - » отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
- Параллельный перенос (сдвиг) вдоль О х и О у. Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0 . Если значение a положительное, до график сдвигается влево на | а | единиц, если отрицательное a , тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси О у, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.
Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.
Пример 1
Преобразовать y = x 2 3 и построить график функции y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .
Решение
Представим функции таким образом:
y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 · 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3
Где k 1 = 2 , стоит обратить внимание на наличие « - » , а = - 1 2 , b = 3 . Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль О у вдвое, отображается симметрично относительно О х, сдвигается вправо на 1 2 и вверх на 3 единицы.
Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что
при растягивании вдвое вдоль О у имеем, что
Отображение, симметричное относительно О х, имеет вид
а движение вправо на 1 2
движение на 3 единицы вверх имеет вид
Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.
Пример 2
Произвести построение графика показательной функции y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 .
Решение.
Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что
y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 · 1 2 - 1 2 x + 8
Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y = 1 2 x:
y = 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 · 1 2 1 2 x → y = - 1 2 · 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 · 1 2 - 1 2 x + 8
Получаем, что исходная показательная функция имеет вид
Сжимание вдвое вдоль О у дает
Растягивание вдоль О х
Симметричное отображение относительно О х
Отображение симметрично относительно О у
Сдвигание на 8 единиц вверх
Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y = ln (x) .
Пример 3
Построить функцию y = ln e 2 · - 1 2 x 3 при помощи преобразования y = ln (x) .
Решение
Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:
y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2
Преобразования логарифмической функции выглядят так:
y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2
Изобразим график исходной логарифмической функции
Производим сжимание строе по О у
Производим растягивание вдоль О х
Производим отображение относительно О у
Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем
Для преобразования графиков тригонометрической функциинеобходимо подгонять под схему решения вида ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b . Необходимо, чтобы k 2 приравнивался к T k 2 . Отсюда получаем, что 0 < k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y = sin x .
Пример 4
Построить график y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 с помощью преобразований функции y=sinx.
Решение
Необходимо привести функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Для этого:
y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2
Видно, что k 1 = 3 , k 2 = 1 2 , a = - 3 , b = - 2 . Так как перед k 1 имеется « - » , а перед k 2 - нет, тогда получим цепочку преобразований вида:
y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2
Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y = sin (x) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T = 2 π . Нахождение максимума в точках π 2 + 2 π · k ; 1 , а минимума - - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .
Производится растягивание по О у втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T = 2 π - это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы - - π 2 + 2 π · k ; - 3 , k ∈ Z .
При растягивании по О х вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Максимумы переходят в π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы – в - π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .
Изображение производится симметрично относительно О х. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Переход максимума выглядит как - π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , а минимума – π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .
Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки - π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , минимумов - π + 3 + 4 π · k ; - 5 , k ∈ Z .
На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.
Рассмотрим подробное преобразование функции y = cos x .
Пример 5
Построить график функции y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 при помощи преобразования функции вида y = cos x .
Решение
По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Тогда получаем, что
y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1
Из условия видно, что k 1 = 3 2 , k 2 = 2 , a = - 1 , b = 1 , где k 2 имеет « - » , а перед k 1 он отсутствует.
Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:
y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1
Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.
При заданной графике y = cos (x) видно, что наименьший общий период равняется T = 2 π . Нахождение максимумов в 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , а минимумов π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .
При растягивании вдоль О у в 3 2 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 3 2 раза. T = 2 π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов в π + 2 π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .
При сжатии вдоль О х вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T = 2 π k 2 = π . Производится переход максимумов в π · k ; 3 2 , k ∈ Z ,минимумов - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .
Симметричное отображение относительно О у. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.
При сдвигании графика на 1 . Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T = π . Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов - π 2 + 1 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .
При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T = π и не изменен. Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , минимумов в π 2 + 1 + π · k ; - 1 2 , k ∈ Z .
Преобразования функции косинуса завершено.
Рассмотрим преобразования на примере y = t g x .
Пример 6
Построить график функции y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 при помощи преобразований функции y = t g (x) .
Решение
Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b , после чего получаем, что
y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
Отчетливо видно, что k 1 = 1 2 , k 2 = 2 3 , a = - π 2 , b = π 3 , а перед коэффициентами k 1 и k 2 имеется « - » . Значит, после преобразования тангенсоиды получаем
y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.
Имеем, что исходный график – это y = t g (x) . Изменение положительного периода равняется T = π . Областью определения считается - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .
Сжимаем в 2 раза вдоль О у. T = π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .
Растягиваем вдоль О х в 3 2 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T = π k 2 = 3 2 π . А область определения функции с координатами - 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , меняется только область определения.
Симметрия идет по сторону О х. Период не изменится в этот момент.
Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение О х и О у, тогда преобразуем до исходной функции.
Решение
Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций a r c sin x + a r c o cos x = π 2 . Значит, получим, что a r c sin x = π 2 - a r c cos x .
Видно, что y = a r c cos x → y = - a r c cos x → y = - a r c cos x + π 2 .
Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.
График, данный по условию
Производим отображение относительно О х
Производим движение вверх на π 2 .
Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.
Видно, что k 1 = 2 , k 2 = 1 3 , a = - 1 , b = 0 , где отсутствует знак « - » у k 1 и k 2 .
Отсюда получаем, что преобразования y = a r c sin x примет вид:
y = a r c sin (x) → y = 2 a r c sin (x) → → y = 2 a r c sin 1 3 x → y = 2 a r c sin 1 3 (x - 1)
Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.
График y = a r c sin x имеет область определения вида x ∈ - 1 ; 1 , тогда интервал y ∈ - π 2 ; π 2 относится к области значений.
Необходимо растянуть вдвое по О у, причем область определения останется неизменной x ∈ - 1 ; 1 , а область значений y ∈ - π ; π .
Растягивание по О х строе. Происходит расширение области определения x ∈ - 3 ; 3 , но область значений остается неизменной y ∈ - π ; π .
