Главная > Интернет > Решение интегралов заменой. Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле

Решение интегралов заменой. Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле

Замена многочлена или. Здесь - многочлена степени, например, выражение - многочлен степени.

Допустим, у нас есть пример:

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за? Правильно, .

Уравнение приобретает вид:

Производим обратную замену переменных:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа - ; .

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За нужно взять.

Мы получаем выражение:

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что имеет два корня: и.

Решением первого квадратного уравнения являются числа и

Решением второго квадратного уравнения - числа и.

Ответ : ; ; ;

Подведем итоги

Метод замены переменной имеет основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Разберем 3 задачи

Ответы на 3 задачи

1. Пусть, тогда выражение приобретает вид.

Так как, то может быть как положительным, так и отрицательным.

Ответ:

2. Пусть, тогда выражение приобретает вид.

решения нет, так как.

Ответ:

3. Группировкой получаем:

Пусть, тогда выражение приобретает вид
.

Ответ:

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.

Замена переменных - это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена

Степенная замена.

Например, с помощью замены биквадратное уравнение приводится к квадратному: .

В неравенствах все аналогично.

Например, в неравенстве сделаем замену, и получим квадратное неравенство: .

Пример (реши самостоятельно):

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори ), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение степени, поэтому применяется замена переменных.

Все станет намного проще после замены: . Тогда:

Теперь делаем обратную замену:

Ответ: ; .

Замена многочлена

Замена многочлена или.

Здесь − многочлен степени, т.е. выражение вида

(например, выражение - многочлен степени, то есть).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: или.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

И опять используется замена переменных.

Тогда уравнение примет вид:

Корни этого квадратного уравнения: и.

Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

Значит, это уравнение корней не имеет.

Корни этого уравнения: и.

Ответ. .

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена.

и − многочлены степеней и соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

обычно используется замена.

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что не является корнем этого уравнения: ведь если подставить в уравнение, получим, что противоречит условию.

Разделим уравнение на:

Перегруппируем:

Теперь делаем замену: .

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

Отсюда следует, что.

Вернемся к нашему уравнению:

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение: .

Решение:

При равенство не выполняется, поэтому. Разделим уравнение на:

Уравнение примет вид:

Его корни:

Произведем обратную замену:

Решим полученные уравнения:

Ответ: ; .

Еще пример:

Решите неравенство.

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на:

Теперь очевидна замена переменной: .

Тогда неравенство примет вид:

Используем метод интервалов для нахождения y:

при всех, так как

Значит, неравенство равносильно следующему:

при всех, так как.

Значит, неравенство равносильно следующему: .

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

Ответ: .

Замена переменных - один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов :

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Виды замены переменной:

Степенная замена: за принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень - .
Дробно-рациональная замена: за принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную - , где и - многочлены степеней n и m, соответственно.
Замена многочлена: за принимается целое выражение, содержащее неизвестное - или, где - многочлен степени.

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

(Здесь (ln(cosx))’ — .)

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием

удаётся не всегда. Одним из наиболее эффективных приёмов

является метод подстановки или замены переменной интегрирования.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования удаётся свести заданный интеграл к

новому интегралу, который берётся непосредственным интегрированием.

Рассмотрим этот метод:

Пусть - непрерывная функция

необходимо найти: (1)

Сделаем замену переменной интегрирования:

где φ (t) – монотонная функция, которая имеет непрерывную производную

и существует сложная функция f (φ (t)).

Применив к F (х) = F(φ (t)) формулу дифференцирования сложной

функции, получим:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Но F′(x) = f (x) = f (φ (t)), поэтому

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Таким образом, функция F(φ (t)) является первообразной для функции

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), поэтому:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Учитывая, что F (φ (t)﴿ = F (x), из (1) и (4) следует формула замены

переменной в неопределённом интеграле:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Формально формула (5) получается заменой х на φ (t) и dх на φ′ (t)dt

В полученном после интегрирования по формуле (5) результате следует

перейти снова к переменной х. Это всегда возможно, так как по предпо-

ложению функция х = φ (t) монотонна.

Удачный выбор подстановки обычно представляет известные труд-

ности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифферен-

цирования и хорошо знать табличные интегралы.

Но все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов

интегрирования.

Правила интегрирования способом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подинтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подинтегральной функции нужно заменить

новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифферен-

циал старой переменной (или выражение, содержащее этот диффе-

ренциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате переходят к старой переменной.

Примеры решения интегралов способом подстановки:

1. Найти: ∫ х²(3+2х ) dx

Решение:

сделаем подстановку 3+2х = t

Найдём дифференциал обеих частей подстановки:

6x dx = dt, откуда

Следовательно:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Заменив t на его выражение из подстановки, получим:

∫ x (3+2x ) dx = (3+2x ) + С

Решение:

= = ∫ е = е + C = е + C

Решение:

Понятие определённого интеграла.

Разность значений для любой первообразной функции при изменении аргумента от до называется определенный интегралом этой функции в пределах от а до b и обозначается:

а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Чтобы вычислить определенный интеграл нужно:

1. Найти соответствующий неопределенный интеграл

2. Подставить в полученное выражение вместо х сначала верхний предел интегрирования в, а затем нижний – а.

3. Из первого результата подстановки вычесть второй.

Коротко это правило записывается в виде формул так:

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла:

1. , где K=const

3. Если , то

4. Если функция неотрицательна на отрезке , где , то

При замене в определенном интеграле старой переменной интегрирования на новую необходимо старые пределы интегрирования заменить новыми. Эти новые пределы определяются выбранной подстановкой.

Применение определённого интеграла.

Площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной кривой , не меняющей свой знак на , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:

С помощью определенного интеграла можно решать и ряд физических задач.

Например:

Если скорость прямолинейно движущегося тела является известной функцией времени t, то путь S, пройденный этим телом с момента времени t = t 1 до момента времени t = t 2 определяется формулой:

Если переменная сила является известной функцией пути S (при этом предполагается, что направление силы не меняется) то работа А, совершаемая этой силой на пути от до определяется формулой:

Примеры:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = ; y = (x-2) 2 ; 0x.

Решение:

а) Построим графики функций: y = ; y = (x-2) 2

б) Определим фигуру, площадь которой нужно вычислить.

в) Определим пределы интегрирования, решая уравнение: = (x-2) 2 ; x = 1 ;

г) Вычисляем площадь заданной фигуры:

S = dx + 2 dx = 1 ед 2

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Y = x 2 ; x = y 2 .

Решение:

x 2 = ; x 4 = x ;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0 ; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = ед 2

3. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной линиями: y = ; x = 1 .

Решение:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 ед. 3

Домашняя контрольная работа по математике
Варианты заданий.

Вариант №1

y = (x + 1) 2 ; y = 1 – x ; 0x

Вариант № 2