Глава iii. конформные и квазиконформные отображения
Для нахождения образа какого-нибудь множество Е (линии, области), заданного на комплексной плоскости z с помощью некоторых условий А (уравнений, неравенств), при отображении поступают следующим образом. Из условий А и равенства , где , , исключая x, y или , получают новые условия через u, v или . Эти условия описывают некоторое множество на плоскости w, которое и будет образом множества Е при отображении .
Конформные отображения многих областей друг на друга осуществляются с помощью элементарных функций. Часто применяются следующие функции.
1. - параллельный перенос на вектор .
2. - преобразование подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия .
3. - поворот вокруг начала координат на угол .
4. - степенная функция. Отображает угол конформно на угол (рис. 11). При этом сектор переходит в сектор , область - в область , а дуга окружности - в дугу окружности .
В дальнейшем в случае многозначности функции (это будет, когда - нецелое число) под будем понимать ту однозначную ветвь, которая в точке z = 1 принимает значение
5. - показательная функция. Отображает полосу , конформно на угол (рис.12). При этом полуполоса переходит в сектор , а полуполоса - в область .
6. - функция Жуковского. Отображает единичный круг , а также внешность единичного круга конформно на плоскость с разрезом по отрезку [-1; 1] (рис. 13). При этом области
(нижний полукруг и верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в верхнюю полуплоскость , а области (верхний по-лукруг и нижняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в нижнюю полуплоскость .
7. - дробно-линейная функция. Ее основные свойства приведены в теоретической части занятий 7, 8.
На практике часто встречаются области следующих типов, которые бывает надо отобразить конформно на верхнюю полуплоскость.
1. Области, границы которых имеют две угловые точки (рис. 14).
Используя какую-нибудь дробно-линейную функцию, отобразить
одну из угловых точек в 0, а другую в , после чего получится угол с вершиной в начале координат. Далее осуществить поворот и применить степенную функцию.
2. Круг, внешность круга или полукруг с разрезом (рис. 15).
Применить преобразование подобия и функцию Жуковского, после чего получится плоскость или полуплоскость с разрезами.
3. Области, ограниченные окружностями (прямыми) или дугами окружностей, которые имеют точку касания (рис. 16).
Используя дробно-линейную функцию, отобразить точку касания в , после чего получится полоса или полуполоса. Далее применить показательную функцию.
4. Области, границы которых имеют три и более угловых точек (рис.17).
Используя степенную функцию, выпрямить некоторые из углов.
Задачи
1. Найти образ прямой при отображении .
Решение . Пусть Тогда из условия Re z = и равенства , т.е. равенства имеем х = , откуда, исключая x и y, получим . Следовательно, образом прямой Re z = будет парабола .
2. Найти образы прямых при отображении .
Решение . Считая , из равенства
находим: . Присоединяя к этим равенствам условие и исключая из полученных равенств х и у, получим . Это уравнение описывает логарифмическую спираль при и луч при = 0.
3. Найти образ верхней полуплоскости с разрезом по отрезку , при отображении .
Решение. Функция отображает верхнюю полуплоскость, рассматриваемую как угол , на угол , т.е. на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси . Из этой области надо выкинуть еще образ отрезка при отображении . Отрезок задается условиями х = 0, . Из этих условий и равенств полу-чаемых из равенства , исключая х и у, получим: . Значит, образом отрезка будет отрезок , а образом исходной области будет плоскость с разрезом по лучу .
4. Найти какие-нибудь конформные отображения на верхнюю полуплоскость Im z > 0 следующих областей:
в) плоскость с разрезом по лучам и ;
г) верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку ;
д) внешность единичного круга с центром в точке 0 и с разрезом по лучу ;
е) верхнюю половину единичного круга с разрезом по отрезку ;
ж) сектор ;
з) полуполосу ;
л) полосу с разрезом по лучу .
Решение. Последовательности отображений, с помощью которых осуществляются конформные отображения заданных областей на верхнюю полуплоскость, а также области, получаемые при этих отображениях, указаны на следующих рисунках.
Границы заданной области имеет две угловые точки -1 и 1, которые с помощью функции z 1 отображаются соответственно в и 0. Точка z = угловой точкой границы не является, так как на бесконечности лучи и , рассматриваемые как единая часть прямой Im z = 0, угол не образуют. Функция z 1 отображает заданную область на угол величины с вершиной в начале координат, который с помощью степенной функции отображается на угол величины , т.е. на верхнюю полуплоскость.
Так как при отображении z 1 лучи и в совокуп-ности переходят в один луч , то образом заданной области при отображении z 1 будет вся плоскость с разрезом по лучу , т.е. угол величины с вершиной в начале координат, который с по-мощью функции отображается на верхнюю полуплоскость.
Функция Жуковского z 1 отображает внешность единичного круга на внешность отрезка , а разрез по лучу на луч . Поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет внешность отрезка , откуда выкидывается еще луч , т.е. будет плоскость с разрезом по лучу .
Преобразование отображает единичный верхний полукруг на единичный круг с разрезом по отрезку , а отрезок на отрезок , поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет единичный круг с разрезами по отрезкам и . Полученная область отображается функцией Жуковского z 2 на плоскость с разрезом по лучу , так как при этом отображении единичный круг переходит во внешность отрезка , отрезок на отрезок , а отрезок на луч .
Граница исходной области имеет точку касания z = 0, которая с помощью функции отображается в . При этом сама область переходит в полосу.
Для отображения полуполосы, изображенной на плоскости z 3 , на верхнюю полуплоскость воспользовались ответом примера з), где брали . Тогда .
При отображении полоса переходит в угол , т.е. в плоскость с разрезом по лучу , а разрез переходит в луч , поэтому исходная область переходит в плоскость с разрезами по лучам и . Далее воспользовались ответом примера в).
5. Отобразить полукруг на круг так, чтобы .
Решение. Сначала найдем какое-нибудь конформное отображение заданного полукруга на верхнюю полуплоскость. Одно из таких отображений дается последовательностью конформных отображений, указанных на следующих рисунках.
отображает заданный полукруг конформно на верхнюю полуплоскость. При этом внутренняя точка перейдет в точку , а граничная точка 2 в точку 1. Отобразим теперь полуплоскость на круг так, чтобы точка перешла в точку 0, а точка 1 в точку 1. Так как искомое отображение является дробно- линейным, то при этом согласно свойству симметрии дробно-линейной функции точка , симметричная точке относительно границы полуплоскости , перейдет в точку , симметричную точке 0 относительно границы круга . Следовательно, искомое отображение переводит точки , , 1 соответственно в точки 0, , 1. Оно находится из соотношения
где . Эта функция отображает заданный полукруг на единичный круг так, что .
Геометрический смысл модуля и аргумента аналитической функции. Пусть функция w=f(z) является аналитической в некоторой области D. Выберем произвольную точку и проведем через нее произвольную гладкую кривую , целиком лежащую в D . Функция f(z) осуществляет отображение области D комплексной плоскости (z) на область G комплексной плоскости (w) . Пусть точка отображается в точку , а кривая отображается в кривую .Обозначим через угол, составленный касательной к в точке с осью Ox, а через - угол, составленный касательной в точке с осью Ou . Так как функция f(z) аналитическая, то существует производная в любой точке области D . Предположим, что в D . Производную можно представить в показательном виде, т.е. записать в виде:
Выберем такой способ стремления , при котором точки лежат на кривой . Тогда соответствующие им точки Комплексные числа и на плоскости будут изображаться векторами секущих к кривым и соответственно, причем и - длины векторов секущих, а и углы, образованные этими векторами и положительными осями. При эти векторы секущих переходят в касательные к кривым и в точках и .Из равенства (10) следует, что , т.е. аргумент производной имеет геометрический смысл разности угла вектора касательной кривой и угла вектора касательной . Так как производная не зависит от способа предельного перехода, то она будет той же самой для любой другой кривой, проходящей через точку . Другими словами, дуги, проходящие через точку z 0 на плоскости z при отображении w=f(z) повернутся на один и тот же угол на плоскости w . Когда угол между любыми кривыми на плоскости (z) , проходящий через точку z 0 , равен углу между кривыми и на плоскости (w) ,то это называется свойством сохранения (консерватизма) углов.
Аналогично из равенства (10) получим: , т.е. с точностью до величин более высокого порядка малости имеет место равенство: .
Последнее соотношение также не зависит от способа выбора кривой и геометрический смысл его состоит с том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию бесконечно малые линейные элементы (бесконечно малые дуги) преобразуются подобным образом, причем модуль производной называется коэффициентом подобия . Такое свойство данного отображения называется свойством постоянства растяжения , поэтому k еще называют коэффициентом растяжения . Говорят, что при k >1 – растяжение, а при k <1 – сжатие.
Определение конформного отображения и основные свойства. Определение 17. Взаимно-однозначное отображение области D комплексной плоскости (z) на область G комплексной плоскости (w) называется конформным , если оно во всех точках z D обладает свойством сохранения углов и постоянством растяжения.
Теорема 6. Для того, чтобы комплексная функция w=f(z) конформно отображала область D плоскости (z) на область G плоскости (w) , необходимо и достаточно, чтобы она была аналитической в D и ни в одной точке области D .
□ Необходимость . Предположим. что функция w=f(z) осуществляет конформное отображение. По определению это означает выполнение свойств сохранения углов и постоянства растяжения. Возьмем на плоскости z произвольную точку z 0 и в ее окрестности две точки: z 1 и z 2 . На плоскости w им будут соответствовать точки w 0 , w 1 , w 2
С точностью до бесконечно малых величин будут выполняться соотношения: , а из постоянства углов следует: . Из равенства для аргументов следует, что углы равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. В результате получим: .
Таким образом из последних двух равенств следует с точностью до бесконечно малых величин выполнение следующих равенств: . По причине произвольности выбора точки z 0 и точек z 1 ,z 2 из ее окрестности следует, что существует , Достаточность. Пусть производная существует и не равна нулю в области D , тогда из геометрического смысла производной следует выполнение свойств сохранения углов и постоянства растяжения, а это по определению означает, что функция осуществляет конформное отображение. ■
Конформное отображение используется для решения задач математической физики, гидродинамике и аэродинамике, теории упругости, теории электромагнитных и тепловых полей. Основная задача теории конформного отображения заключается в нахождении функции комплексного переменного w=f(z), которая отображала бы заданную область D плоскости z на заданную область G плоскости w . В решении этой задачи важную роль играет теорема.
Теорема 7. Всякую односвязную область D комплексной плоскости z , граница которой состоит более чем из одной точки можно конформно отобразить на внутренность единичного круга <1 комплексной плоскости w. (без доказательства).
Из данной теоремы следует возможность конформного отображения данной области D на заданную область G, если граница каждой из областей состоит более чем из одной точки. Тогда, отобразив эти области на вспомогательный круг <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.
Линейное отображение . Линейным называется отображение, осуществляемое линейной функцией где a и b - комплексные числа.
Такое отображение является взаимно-однозначным и конформным на всей комплексной плоскости поскольку Линейное отображение оставляет неподвижным две точки:
Пусть Представим линейное отображение в виде трех простейших.
1) Преобразование поворота всей плоскости z на угол вокруг начала координат:
2) Преобразование подобия с центром подобия в начале координат, т.е. растяжения при >1 и сжатия при 0< <1:
3) Параллельный перенос на вектор b :
Пример 4. Найти функцию, которая отображает треугольник с заданными вершинами z 1 =-1, z 2 =i, z 3 =1 в треугольник с вершинами w 1 =0, w 2 =-2+2i, w 3 =4i.
Решение. Построим искомую функцию как суперпозицию трех элементарных преобразований.
1) - поворот на угол против часовой стрелки;
2) - растяжение в два раза;
3) - сдвиг на две единицы вверх;
Искомая функция имеет вид:
Дробно-линейное отображение. Дробно-линейная функция , где a,b,c,d - комплексные числа осуществляет дробно-линейное отображение расширенной комплексной плоскости z w . Найдем производную: если .
Определение 18. Точки z 1 и z 2 называются симметричными относительно окружности , если они лежат на одном луче, проходящем через точки z 1 , z 2 и точку z 0 , причем .
Инверсией относительно окружности называется преобразование расширенной комплексной плоскости на себя, переводящее каждую точку z 1 плоскости в точку z 2 , симметричную относительно этой окружности. Рассмотрим отображение, заданное функцией и обозначим Пользуясь свойством модуля, можно записать: . Отсюда следует, что рассматриваемое отображение есть инверсия относительно окружности радиуса R, с центром в начале координат с последующим зеркальным отображением, относительно действительной оси.
По аналогии с линейным отображением, представим дробно-линейное отображение как суперпозицию простейших преобразований. Выделим сначала целую часть дроби:
Простейшие преобразования будут следующие:
1) параллельный перенос на : ;
2) преобразование инверсии относительно окружности радиуса R с центром в начале координат с последующим зеркальным отражением относительно действительной оси: ;
3) поворот относительно начала координат: ;
4)параллельный перенос на : .
Пример 5. Найти область, в которую перейдет окружность при дробно-линейном отображении .
Решение.
Это будет окружность, которая получается после следующих преобразований:
1) перенос на 1 вниз:
2) инверсия относительно , направление обхода изменится:
3) поворот на 90 градусов:
4) перенос на 1 вниз:
Свойства дробно-линейного отображения. Без доказательства сформулируем следующие свойства.
1.Конформность. Дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w .
2.Единственность. Существует единственная дробно-линейная функция, которая три заданные различные точки z 1 ,z 2 ,z 3 плоскости z отображает в три различные точки w 1 ,w 2, w 3 плоскости w и это отображение задается равенством: .
3.Круговое свойство. При дробно-линейном отображении, образом любой окружности в широком смысле является окружность(в широком смысле, т.е. окружность или любая прямая).
4.Принцип отображения границ. При дробно-линейном отображении область, лежащая внутри окружности, преобразуется в область, лежащую либо внутри, либо вне преобразованной окружности(граница отобразится в границу).
5.Принцип симметрии Римана-Шварца. При дробно-линейном отображении точки, симметричные относительно окружности, отображаются в точки, симметричные относительно преобразованной окружности(симметрия в смысле инверсии).
Пример 6. Задана верхняя полуплоскость плоскости z и произвольная точка z 0 . Найти функцию, которая отобразит ее в единичный круг плоскости w так, чтобы z 0 отобразилась в центр круга.
Решение.
Пусть , тогда согласно принципу отображения границ, действительная ось на плоскости z отобразится в окружность единичного радиуса. По свойству симметрии точка отобразится в точку . Таким образом, учитывая это построим функцию . Если рассмотреть точки z , лежащие на действительной оси, а это точки вида: , то для них будут выполняться равенства: , т.к. они все равноудалены от точки, лежащей на действительной оси, т.е. имеем, что все точки действительной оси отобразятся во все точки единичной окружности Отсюда получаем, что если рассмотреть модуль Искомое отображение будет иметь вид: .
Решить еще одну задачу на дробно-линейное отображение и вставить обе в первый модуль!
Здесь мы подробнее расскажем о геометрических методах теории аналитических и обобщенных аналитических функций, которыми больше всего будем пользоваться в приложениях.
§ 10. Задача Римана
Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую.
Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области.
Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение обратное и конформному отображению и 2) сложное отображение составленное из двух конформных отображений (т. е. отображение ), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций.
Имея эти свойства, обосновать сделанное замечание совсем нетрудно: если функции конформно отображают соответственно области на единичный
круг то функция будет отображать на
Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел).
Займемся вопросом о том, насколько определена задача Римана, сколько решений она имеет при заданных областях Согласно замечанию, для решения этого вопроса достаточно выяснить, сколькими способами можно конформно отобразить единичный круг на себя. Нетрудно проверить, что при любом комплексном и любом действительном числе функция
конформно отображает круг на себя (в самом деле, при имеем и, следовательно, т. е. (1) преобразует единичную окружность в себя; кроме того, оно взаимно однозначно, ибо уравнение (1) однозначно разрешимо относительно и переводит точку а круга в его центр). Отображение (1) зависит от трех действительных параметров - двух координат точки а, переходящей в центр круга, и числа 0, изменение которого означает поворот круга относительно центра.
Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана:
конформное отображение одной области на другую определится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе задается одним параметром) или соответствие одной пары внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение - они называются условиями нормировки - могут иметь различный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра.
Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений.
1) Отображение внешности круга на себя. Функцию (1) можно рассматривать также как отображающую внешность т. е. область на себя; в бесконечность она переводит точку которая называется симметричной с а относительно единичной окружности
2) Верхняя полуплоскость на круг тоже отображается дробнолинейной функцией:
здесь а - произвольная точка верхней полуплоскости она переводится при отображении (2) в центр круга; точка окружности, в которую переходит бесконечная точка плоскости (предел правой части (2) при очевидно, равен ).
На рис. 22 показано, во что переходят прямые h - это окружности, касающиеся единичной в точке
3) Внешность единичного круга на внешность отрезка отображается так называемой функцией Жуковского
Окружности переходят при этом в эллипсы с полуосями и с фокусами ±1, а лучи в дуги гипербол, ортогональных к эллипсам (рис. 23).
4) Полоса на единичный круг отображается функцией
Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в «меридианы» и «параллели» (рис. 24).
5) Верхняя полуплоскость с выброшенным круговым сегментом на верхнюю полуплоскость при нормировке отображается функцией
где а и а - параметры сегмента (рис. 25), а с - действительная постоянная (отметим, что наши условия нормировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным).
Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой
Можно еще заметить, что с точностью до малых высших порядков дает площадь с выброшенного сегмента, поэтому (6) переписывается в виде
6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь выброшенной луночки мала, можно записать так:
здесь вершина луночки или (с той же точностью) другая ее точка.
7) Такая же приближенная формула для отображения полосы с выброшенной луночкой малой площади с на полосу имеет вид
где а - абсцисса одной из точек луночки; гиперболический тангенс.
Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского движения.
Пусть нужно найти течение в канале со стенками, которые перпендикулярны к некоторой плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым без общих точек (рис. 26), причем скорости течения параллельны этой плоскости и на всех перпендикулярах к ней одинаковы. Поле скоростей в канале описывается плоским полем в полосе ограниченной кривыми
Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала - аналитической в функции Найти течение - значит найти эту функцию.
Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых должна быть линией тока это дает граничное условие задачи. Мы можем задать
еще расход потока который, как показано в прошлой главе, равен
где у - линия с концами т. е. любое поперечное сечение потока. Так как потенциал нас интересует с точностью до постоянного слагаемого, мы можем считать, что на на Г.
В такой постановке задача еще очень неопределенна. Например, для случая, когда является прямой полосой ее решением служит любая функция
При любых действительных и целых (мнимая часть обращается в нуль при Чтобы поставить задачу более четко, придется предположить, что ширина полосы остается ограниченной в бесконечности, наложить на некоторые условия гладкости и рассматривать лишь течения с ограниченной скоростью на бесконечности. Можно доказать, что при этих дополнительных ограничениях решением задачи будет лишь конформное отображение области на полосу с нормировкой . Это отображение определено с точностью до (действительного) постоянного слагаемого, которое не существенно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, сведено к решению задачи Римана.
Лекция №4.
Геометрически функция комплексного переменного w=f (z ) задает отображение некоторого множества z – плоскости на некоторое множество w -плоскости. Точка w ÎG называется образом точки z при отображении w=f (z ), точка z ÎD – прообразом точки w .
Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f (z ), то функция называется однозначной (w=|z| , w= , w= Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w , функция называется многозначной (w= Argz ).
Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то функция w =f (z ) называется однолистной в области D .
Другими словами, однолистная функция w =f (z ) взаимно однозначно отображает область D на G . При однолистном отображении w =f (z ) прообраз любой точки w ÎG состоит из единственного элемента: : . Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной w , определенную на G . Она обозначается и называется обратной функцией .
Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f (z ) называют многолистной в области D .
Если отображение w =f (z ) является многолистным на D (например, w =z n ), то в этом случае некоторым значениям w ÎG соответствует более, чем одна точка z ÎD : f (z )=w . Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.
Однозначная на области D функция w =f (z ) называется ветвью многозначной функции F , если значение f в любой точке z ÎD совпадает с одним из значений F в этой точке.
Для того, чтобы выделить однозначные ветви многозначной функции, поступают следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w =f (z ) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка z ÎD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w =f (z ). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .
Понятие о конформном отображении
Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z =2i при отображении .
■ Находим производную и ее значение в данной точке .
Коэффициент растяжения k равен модулю производной: .
Угол поворота j равен аргументу производной. Точка лежит в четвертой четверти, следовательно, . ■
Пример 3.5. Определить, какая часть плоскости при отображении w =z 2 растягивается, а какая – сжимается.
■ Находим производную w ¢=2z . Коэффициент растяжения в любой точке z равен k =|w ¢(z )|=2|z |. Множество точек комплексной плоскости, для которых k >1, то есть 2|z |>1 или , образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w =z 2 внешность круга растягивается, а внутренняя часть - сжимается. ■
Отображение w =f (z ) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.
Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f (z ) является конформным во всех точках, где .
Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке этой области.
Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода . Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например, ).
В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи.
Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении – прямая задача .
Вторая заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область – обратная задача .
При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z 0 при отображении w =f (z ) является точка w 0 , такая, что w 0 =f (z 0), то есть результат подстановки z 0 в f (z ). Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w =f (z ), другое – уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной z из двух заданных соотношений.
Правило 3.3. Для нахождения образа линии, заданной уравнением F (x ,y )=0 (или в явном виде y =j (x )), при отображении w =f (z ) необходимо:
1. Выделить действительную и мнимую части функции f (z ): u =Ref (z ), v =Imf (z ).
2. Из системы исключить х и у. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.
Правило 3.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w =f (z ) необходимо:
1. Записать уравнение линии в параметрической форме z =z (t ) или в комплексной форме .
2. В зависимости от вида уравнения линии рассмотреть соответствующий случай:
Если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z (t ) в w =f (z );
Если линия задана в комплексной форме, то выразить z из w =f (z ), то есть , и . Затем следует подставить z и в уравнении линии. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.
Правило 3.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.
Первый способ.
1. Записать уравнение границы данной области. Найти образ границы заданной области по правилам 3.3 или 3.4.
2. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при данном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.
Второй способ.
1. Выразить z из соотношения w =f (z ).
2. Подставить полученное в п.1. выражение в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение - искомый образ.
Пример. Найти образ окружности |z |=1 при отображении с помощью функции w =z 2 .
■ 1 способ (по правилу 3.3).
1. Пусть z=x+iy , w=u+iv . Тогда u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy . Получаем:
2. Исключим х и у из этих уравнений. Для этого возведем первое и второе уравнения в квадрат и сложим:
u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 = x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .
Учитывая третье уравнение системы, получаем: u 2 +v 2 =1 или |w | 2 =1, то есть |w |=1. Итак, образом окружности |z |=1 является окружность |w |=1, проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку w =z 2 , то Argw =2Argz +2pk . Поэтому когда точка z описывает полную окружность |z |=1, то ее образ описывает окружность |w |=1 дважды.
2 способ (по правилу 3.4).
1. Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: z =e it (0£t £2p ).
2. Подставим z =e it в соотношение w =z 2: w=e i 2 t =cos2t +i sin2t . Следовательно, |w | 2 =cos 2 2t +sin 2 2t =1, то есть |w |=1 – уравнение образа. ■
Пример. Найти уравнение образа прямой у=х при отображении w =z 3 .
■ Так как кривая задана в явном виде, то применим правило 3.3.
1. w =z 3 =(x +iy ) 3 =x 3 +3x 2 iy +3x (iy ) 2 +(iy ) 3 =x 3 - 3xy 2 +i (3x 2 y-y 3).
2. В полученную систему подставим у=х : Исключая х из этих уравнений, получим v=-u .
Итак, образом биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv . ■
1. Линейная функция
Линейной функцией называется функция вида
w =az +b , (4.1)
где а , b - комплексные постоянные.
Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga , а растяжение во всех точках равно . Если a= 1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b . Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .
В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:
w 1 =rz - подобие с коэффициентом r =|a |;
w 2 =e i j w 1 =rze i j - поворот на угол j =arga вокруг точки О ;
w =w 2 +b =re i j z +b - параллельный перенос на вектор .
Следовательно, отображение w =az +b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a | раз, поворачивает эту фигуру на угол j =arga вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину.
Линейное отображение обладает круговым свойством, то есть переводит окружности z -плоскости в окружности w -плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.
Пример. Найти образ оси Оу при отображении w =2iz-3i .
■ 1 способ (по правилу 3.4). Уравнение оси выберем в параметрической форме.
1. Так как в действительной форме уравнение оси Oy : x =0, -¥<y <+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy , -¥<y <+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран у .
2. Подставим z=iy в выражение w =2iz-3i : w =-2y -3i , -¥<y <+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (у – параметр). Выделив действительную и мнимую часть, получим уравнение образа в действительной форме: u =-2y , v =-3 или v =-3, -¥<u <+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv , параллельной действительной оси.
2 способ . Используем круговое свойство линейного преобразования – образом прямой является прямая. Так как прямая определяется заданием двух точек, то достаточно на оси Оу выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки z 1 =0, z 2 =i , их образы w 1 =-3i , w 2 =-2-3i при отображении лежат на прямой Imw =-3.Следовательно, образом оси Оу является прямая v =-3.
3 способ (геометрический). Из соотношения w =2iz-3i следует, что a =2i , b =-3i , |a |=2, . Значит, заданную прямую (ось Оу ) надо повернуть на угол относительно начала координат, а затем сместить на 3 единицы вниз. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии, так как она проходит через начало координат. ■
Пример. Найти какую-нибудь линейную функцию, отображающую окружность |z-i |=1 на окружность |w- 3|=2.
■ Поставленная задача есть обратная задача теории отображений – по заданному образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Приведем геометрический способ решения.
1. Переместим центр окружности в начало координат. Для этого применим отображение w 1 =z-i .
2. В плоскости w 1 применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, то есть w 2 =2w 1 .
3. Смещаем окружность на 3 единицы вправо: w =w 2 +3. Окончательно получаем: w =2(z-i )+3, w= 2z +3-2i – искомая функция.
Можно выбрать другой порядок выполнения геометрических операций – сделать сначала не смещение, а поворот или растяжение. ■
2. Дробно-линейная функция
Дробно-линейной называется функция вида
где a , b , c , d - комплексные числа, такие что , .
Свойства дробно-линейного преобразования
1° Конформность
Отображение w =L (z ) является конформным во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме .
2° Круговое свойство
Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w =L (z ) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность). Несложно установить, что при отображении w =L (z ) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w ), а все прямые или окружности, не проходящие через точку d , - в окружности плоскости (w ).
3° Инвариантность двойного отношения
Отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек . Таким образом, дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех точек и их образов: . По этим парам можно найти дробно-линейную функцию по формуле:
Эту формулу можно применять и в случае, когда некоторые из чисел z k и w k обращаются в ¥, если воспользоваться правилом: разность, в которой встречается символ ¥, следует заменить на 1.
4° Сохранение симметрии
Если точки z 1 и z 2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности g , то при любом дробно-линейном отображении w =L (z ) их образы w 1 и w 2 будут симметричны относительно образа g : .
Симметрия относительно прямой понимается в обычном смысле.
Точки z и z* называются симметричными относительно окружности |z-z 0 |=R , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, то есть
|z-z 0 |×|z*-z 0 |=R 2 . (4.4)
Точкой, симметричной точке z 0 – центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.
5° Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)
Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность g переходит в прямую или окружность g¢ ,то область D , которую ограничивает g , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает g¢ . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии g область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии g¢ область D¢ тоже должна оказаться слева (справа).
Пример. Найти дробно-линейную функцию w =L (z ), такую, что w (i )=2i , w (¥)=1, w (-1)=¥.
■ Обозначим z 1 =i , z 2 =¥, z 3 =-1 и w 1 =2i , w 2 =1, w 3 =¥. Применим формулу (4.3), заменяя разности, содержащие z 2 и w 3 на ¥:
Преобразуем: -w-wi+ 2i- 2=wz-wi-z+i Û w (z +1)=z -2+i Û - искомая функция. ■ :w =1 и Imw =0.
2. Теперь в соответствии с п.2. правила 3.5 выберем произвольную точку, например, z =-1ÎD . Ее образом при заданном отображении является , лежащая между прямыми Imw =1 и Imw =0. Следовательно, образом заданной области будет полоса 0< Imw <1. ■
3. Показательная функция
Показательной функцией комплексного переменного z=x+iy называется функция, обозначаемая expz (читается «экспонента z ») и определяемая формулой
Свойства expz
1° Если , то expz =expx =e x , т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Поэтому наряду с обозначением expz p , параллельные действительной оси:
Если, например, , то .
8° Показательная функция является аналитической на , (expz )¢=expz.
Пример. Найти действительную, мнимую часть, модуль и главное значение аргумента для числа e 2- i .
■ Используем определение показательной функции комплексного переменного. Пусть z =2-i , x =Rez =2, y =Imz =-1.
Тогда . Следовательно,
Можно также вместо определения использовать теорему сложения и формулу Эйлера (1.7). ■
Отображение w =expz
В настоящей главе мы займемся рассмотрением некоторых приложений теории функций комплексного переменного к задачам плоской гидродинамики, электростатики и теории упругости. Существенную роль при этих применениях играет конформное преобразование, и мы начнем настоящую главу с более подробного рассмотрения конформного преобразования. Основные свойства преобразования, совершаемого регулярной функцией, были нами выяснены в и затем в . Мы рассмотрели более подробно это преобразование как в тех точках, где производная отлична от нуля, так и в тех точках, где она равна нулю. В точках первого рода углы остаются без изменения, а что касается точек второго рода, то в этих точках углы увеличиваются так, как это было указано в . Пусть
регулярная функция, совершающая конформное преобразование области В в область . Если нигде в нуль не обращается в области В, то область не имеет точек разветвления, но может все же быть многолистной, т. е. налегать сама на себя. Рассмотрим в области В некоторую кривую функцию заданную на этой кривой, и криволинейный интеграл
где элемент дуги кривой l. В результате преобразования (1) кривая l перейдет в некоторую кривую лежащую в области и элемент дуги новой кривой будет выражаться произведением так как дает коэффициент изменения линейных размеров .
Вводя функцию
обратную (1), мы будем иметь, очевидно, следовательно, можем написать
Так что интеграл в результате преобразования будет выражаться в виде
Точно так же, принимая во внимание, что будет давать коэффициент изменения площади в заданном месте, мы будем иметь следующую формулу преобразования двойного интеграла при конформном преобразовании:
и для элемента площади будет иметь место следующая формула:
Если отделить в формуле (1) вещественную и мнимую части,
то нетрудно видеть, что равно функциональному определителю от функций по переменным х и у. Действительно, этот функциональный определитель выражается формулой
или, в силу уравнений Коши - Римана, формулой
а это и есть как раз квадрат модуля производной
Рассмотрим на плоскости два семейства линий вида
где произвольные постоянные. На плоскости им будут соответствовать прямые параллельные координатным осям, и, следовательно, линии (7) получаются из сетки прямых, параллельных осям, при помощи преобразования (2). Отсюда, между прочим, следует непосредственно, что линии (7), принадлежащие различным семействам, взаимно ортогональны, кроме тех точек, где равна нулю. Наоборот, если мы возьмем уравнения
и положим в правых частях этих уравнений или где произвольные постоянные, то получим на плоскости сетку, состоящую из двух семейств взаимно ортогональных линий.
Эта сетка получается из сетки прямых, параллельных осям координат плоскости при помощи преобразования, совершаемого функцией (1). Эти две сетки, которые будут играть в дальнейшем существенную роль, называются обычно изотермическими сетками. Выясним смысл этого названия. Вещественная часть (или мнимая) регулярной функции должна удовлетворять уравнению Лапласа :
Но такому уравнению удовлетворяет температура в случае установившегося потока тепла причем мы считаем, что имеется плоский случай, т. е. температура и не зависит от одной из координат.
При таком толковании функции как температуры при установившемся потоке тепла, линии первого из семейств (7) будут линиями равной температуры, откуда и происходит название изотермическая сетка. В рассматриваемом случае линии второго из семейств (7), ортогональные к первым, будут служить векторными линиями для векторов, которые мы рассматривали в и называли векторами потока тепла.
При преобразовании (1) две линии перейдут в прямые параллельные оси и часть области В, ограниченная вышеуказанными линиями, перейдет в часть полосы, ограниченной вышеуказанными прямыми, параллельными оси .
Криволинейный четырехугольник, ограниченный четырьмя линиями изотермической сетки, перейдет в результате преобразования (1) в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям (рис. 26)
Сделаем еще одно добавление к общим основам конформного преобразования, прежде чем переходить к примерам. Мы видели, что при преобразовании, совершаемом регулярной функцией в тех точках, где производная отлична от нуля, углы сохраняются не только по величине, но и по направлению их отсчета. Иногда рассматривают такие преобразования плоскости, при которых величины углов сохраняются, а направление их отсчета переходит в противоположное.
Такое преобразование называют иногда конформным преобразованием второго рода. В качестве примера укажем преобразование симметрии в вещественной оси, которое будет, очевидно, конформным преобразованием второго рода (рис. 27). Это преобразование можно записать в виде формулы . Вообще, если есть регулярная функция в области В, то формула
будет давать конформное преобразование второго рода, определенное в области симметричной с В относительно вещественной оси. Действительно, переход от z к будет переводить в В с сохранением величин углов, но с изменением направления их отсчета. Последующий затем переход от к по формуле (8) не будет уже менять ни величин углов, ни направления их отсчетов и, таким образом, в окончательном преобразовании от z к w мы будем иметь конформное преобразование второго рода.
