Примеры конформных отображений. Конформные отображения с помощью элементарных функций Конформные отображения элементарных функций
Электродные системы со сложными двумерными электростатическими полями могут быть рассчитаны методом конформных отображений. Основная идея этого метода состоит в замене сложных полей – простыми полями, для которых решения известны. К таким простым полям относятся поля плоского или цилиндрического конденсатора вдали от их краев. Метод конформных отображений является практическим применением теории функции комплексного переменного. Конформное отображение – это непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых (б.м.) фигур. Для конформного отображения выполняется свойство постоянство углов и постоянство растяжений. Название происходит от позднелатинского – conformis – подобный, непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур: например, б.м. круг остается б.м. кругом; углы между линиями в точке их пересечения друг с другом не изменяются. Область применения метода конформных отображений для расчета электрических полей – двумерные электростатические поля.
Конформное преобразование отображает каждую точку z =x +j×y реального расчетного поля, описывающегося комплексной плоскостью, в точку w =u +j×v другой комплексной плоскости, с более простой конфигурацией поля. Основная сложность метода – нахождение вида функции для данной реальной электродной системы. На практике, при попытках найти функцию конформного отображения, используют либо специальные каталоги конформных отображений , либо ищут ее посредством последовательных проб.
Предположим, что мы знаем вид некоторого преобразования z =f(w) или обратного преобразования w =f(z) , которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между двумя комплексными плоскостями со сложной (z ) и простой (w ) конфигурацией поля. Коэффициентом преобразования называется отношение dw/dz .
здесь использованы соотношения:
, 
. (2.94)
Аналогично можно записать:
. (2.95)
Два комплексных числа равны, если у них равны порознь действительные и мнимые части. Сравнивая значения коэффициента преобразования, приведенные в выражениях (2.93) и (2.95) можно записать:
Выражения (2.96) известны под названием условий Коши-Римана. Используя различные формы представления комплексных чисел, коэффициент преобразования можно записать в виде:
где 
- коэффициент изменения длины отрезков при преобразовании, а tg(j) = b/a
(j - угол поворота отрезков при преобразовании). Из соотношений Коши-Римана, получим:
(2.99)
Из соотношений (2.97) – (2.98) следует, что коэффициент конформного преобразования М является относительной напряженностью электрического поля, а каждая из функций u и v может быть выбрана в качестве потенциала на новой комплексной плоскости w =f(u,v) . Этот вывод может быть проверен другим способом. Если функции u и v могут быть выбраны в качестве потенциала, то каждая из них должна удовлетворять уравнению Лапласа: Du =0 и Dv =0. Это можно проверить непосредственным повторным дифференцированием условий Коши-Римана. Продифференцируем первое условие по х , а второе по у ; сложим результат; перенесем в левую часть записи все значащие производные и оставим справа нуль:
; ; . (2.100)
Из полученного выражения следует, что функция u удовлетворяет уравнению Лапласа (1.25), (1.30) и может быть принята за потенциал. Продифференцируем 1-е условие по у , а 2-е - по х :
; ; , (2.101)
т.е. и функция v также удовлетворяет уравнению Лапласа и также может быть принята за потенциал. Поскольку силовые и эквипотенциальные линии на плоскости z =f(x,y) взаимно перпендикулярны, а конформное преобразование оставляет неизменными углы между линиями в точке их пересечения, то из (2.97) ¸ (2.101) следует, что если функция u принята, например, за потенциал, то тогда линия с v =const – является силовой линией. Если же v – потенциал, то u =const – силовая линия. Какая из функций u или v является потенциалом, а какая силовой линией, следует определять из анализа конформного преобразования поля на исходной плоскости z =f(x,y) в поле на плоскости w =f(u,v). Любая функция z=f(w) (или w=f(z)) дает нам решение какой-либо задачи электростатики. Можно придумать произвольную функцию, найти для неё решения, а затем к найденным решениям подобрать соответствующую электродную систему. Таким методом (задом наперед) было найдено множество решений электростатических задач.
При нахождении напряженности электрического поля методом конформных отображений следует учитывать следующее важное обстоятельство. Картина электрического поля полностью определяется геометрическими параметрами электродной системы независимо от пространственного масштаба и приложенного напряжения. Поэтому поле может быть описано напряженностью, отнесенной к единице напряжения или длины. Выражения (2.97)-(2.98) представляют собой именно такую относительную напряженность. Для получения реальной напряженности необходимо учесть действительно приложенное напряжение и фактическое расстояние между электродами. Это делается умножением выражений (2.97)-(2.98) на коэффициент масштаба К м . Пусть расстояние между электродами в плоскости w равно u 2 -u 1 (v 2 -v 1), если за эквипотенциальные линии приняты функции u или v , соответственно. Тогда коэффициент масштаба принимает вид:
К м = U /(u 2 -u 1) или К м = U /(v 2 -v 1). (2.102)
Цилиндрический конденсатор. Хотя расчет электростатического поля цилиндрического конденсатора приведен в §2.5, рассмотрим его в качестве примера применения метода конформных отображений. Поле цилиндрического конденсатора (поле двух концентрических окружностей) на плоскости ху может быть отображено в однородное поле (поле плоского конденсатора) следующим преобразованием:
z = e w ; x + j×y = e u+jv = e u (Cosv +j ×Sinv ).
Произведем разделение действительных и мнимых частей:
Прямая линия на реальной плоскости z , проходящая через начало координат с углом наклона к оси х равным v =const переходит в прямую линию на плоскости w , параллельную оси абсцисс.
При u = const на плоскости w получается система прямых линий, параллельных оси ординат. На плоскости z они соответствуют системе концентрических окружностей. Очевидно, что линии с u = const следует принять за потенциальные линии, а v – за силовые линии поля. Расчет напряженности будем проводить по формуле (2.97):
Длина преобразуемого малого отрезка при переносе с плоскости z на плоскость w изменяется в 1/r раз, где r – расстояние до центра окружностей. Чем дальше от центра, тем меньше коэффициент изменения длин отрезков. Переносимый отрезок поворачивается на угол j = arctg(-y/x ). Угол между лучом, идущим из начала координат в середину преобразуемого отрезка, и осью х становится равным нулю. Все радиусы на z - плоскости превращаются на w - плоскости в линии параллельные оси u . Масштабный коэффициент
Напряженность
(2.103)
Полученная формула (2.103) совпадает, как и следовало ожидать в силу теоремы о единственности, с выражением (2.18), полученным с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.
Поле внутри прямого угла, образованного двумя плоскостями
В качестве другого примера применения метода конформных отображений рассмотрим поле, образованное двумя бесконечными проводящими взаимно перпендикулярными плоскостями. Очевидно, что такая электродная система имеет трансляционную симметрию с бесконечно малым шагом трансляции вдоль плоскостей и плоскость симметрии, проходящую под углом 45° к каждой из плоскостей. Такое поле сводится к двумерному полю, а для определения его параметров достаточно рассчитать характеристики поля между одной из плоскостей и плоскостью симметрии. Для двумерных полей может быть применен метод конформного отображения. Поле в z – плоскости, перпендикулярной линии пересечения заряженных плоскостей, показано на рис.2.20а. За оси х и у приняты линии пересечения заряженных плоскостей с z – плоскостью. Поле внутри прямого угла, образованного двумя плоскостями, преобразуется в однородное поле преобразованием w = z 2 . Покажем это:
w = u +jv = z 2 = (x +jy ) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy .
При u = const линии, параллельные оси v на плоскости w , преобразуются в семейство равнобочных гипербол x 2 – y 2 = а 2 на плоскости z . Ось 0х является действительной (фокальной) осью гипербол, а ось у её мнимой осью. Прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к оси х (u = 0; y = x ), представляет собой линию пересечения z – плоскости с плоскостью симметрии и является асимптотой гипербол. Угол пересечения гипербол с осью х равен 90°, т.е. линии функции u =х 2 -у 2 перпендикулярны эквипотенци альной линии х (поверхности заряженной плоскости х ).
Функции v = 2xy при различных значениях v описывают другое семейство равнобочных гипербол, у которых оси х и у являются асимптотами, а линия у = х является фокальной осью. На рис.2.20а представлены гиперболы с v = 4, 16, 36. При v = 0 гипербола вырождается в оси координат х и у , которые совпадают с заряженными плоскостями. Поскольку поверхность заряженных плоскостей является поверхностью одинакового потенциала, очевидно, что именно функция v должна быть принята за потенциальную функцию на плоскости w . В этом случае функция u представляет собой силовую функцию. Поле двух бесконечных взаимно перпендикулярных плоскостей (оси х и у на z – плоскости) превращается в однородное поле бесконечной заряженной плоскости (ось v на w – плоскости).
Конформное преобразование, сохраняя форму бесконечно малых фигур, может существенно изменить форму конечных фигур. В качестве примера такого изменения приведено преобразование квадрата abcd c координатами а (0,8;0,8), b (0,8;4), c (4;4), d (4;0,8) на z - плоскости в криволинейный четырехугольник a¢b¢c¢d¢ с координатами а¢ (0;1,28), b¢ (-15,36;6,4), c¢ (0;32), d¢ (15,36;6,4) на w - плоскости.
Определим относительную напряженность электростатического поля заряженных плоскостей рис.2.20а. Из двух формул (2.97) и (2.98) для определения напряженности будем использовать (2.98), поскольку именно функция v = 2xy описывает систему эквипотенциальных поверхностей (линий). Линейный коэффициент преобразования:
, (2.104)
Длина преобразуемого малого отрезка при переносе с z - плоскости на w - плоскость увеличивается в 2r раз, где r =х 2 +у 2 – расстояние на z - плоскости от начала координат до центра отрезка. Переносимый отрезок поворачивается на угол j = arctg(y/x ). Происходит удвоение угла между лучом, идущим из начала координат в середину отрезка, и осью х . Масштабный коэффициент К м = U /(v 2 -v 1) = U /(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). Напряженность поля определится умножением относительной напряженности на масштабный коэффициент: Е =E¢×K м . Пусть масштабный коэффициент равен К м =100 в/м. Определим напряженность поля в двух точках на заряженной плоскости: более близкой к углу пересечения плоскостей n 1(1;0) и отдаленной от него n 2 (5;0).
В/м, ×в/м.
Чем ближе к углу, тем меньше напряженность поля. Это результат можно было ожидать из картины поля рис.2.20: расстояние между эквипотенциальными линиями уменьшается при удалении от угла. Любое углубление (вмятина, впадина, каверна, трещина и т.п.) на поверхности электрода может быть приблизительно описано рассмотренной задачей. Тогда, учитывая результаты предыдущего параграфа, можно заключить: вблизи острия или выступа напряженность электрического поля повышается, а вблизи впадины или отверстия она слабеет. Аналогичная рис.2.20а картина поведения силовых и эквипотенциальных линий наблюдается вблизи точки ветвления поля от двух одноименных зарядов (§2.11).
Поле на краю плоского конденсатора (профиль Роговского)
Поместим начало координат на z - плоскости так, чтобы ось х была параллельна плоскостям обкладок конденсатора и находилась от них на одинаковом расстоянии a . Ось у перпендикулярна обкладкам и проходит через их края. Функцию отображения поля на краю плоского конденсатора в однородное поле получил Ю. К. Максвелл в 1881 г. в виде:
. (2.105)
После разделения переменных получаем:
При v I
= 0, y
= 0, 
. При v II
= p, y
= a, 
.
Очевидно, что за потенциальную функцию следует выбрать функцию v .
, 
Учитывая, что К м =U/(v II -v I) = U /p
(2.106)
При u < -5 в области от v I =0 до v II =p получается практически однородное поле с напряженностью U/a . При u ®0 напряженность на электроде (v =v II = p)сильно возрастает и стремиться к бесконечности при u =0. Наибольшая напряженность в реальных системах не обращается в нуль:
. (2.107)
При конечной толщине обкладки конденсатора v ¹p и напряженность остается конечной. Величину v следует подбирать так, чтобы эквипотенциальная поверхность совпала с реальной поверхностью обкладки конденсатора. Пусть v = 174° = 29p/30, тогда отношение напряженности у края электрода к средней напряженности:
.
Видно, что у даже довольно тупого края напряженность резко возрастает. Это отношение можно сделать близким к единице, если поверхность электрода выполнить в виде эквипотенциальной поверхности с v £ p/2. Такой профиль электрода называется профилем Роговского (рис.2.21в). При расстоянии а = p (между обкладками расстояние 2p) он имеет координату v = p/2 и для него x = u +1; y = p/2+e u , т.е. у = p/2+e (х -1) (2.108)
Профиль Роговского имеет большое практическое значение в экспериментах по пробою в поле, близком к однородному для устранения краевого эффекта . В центре устройства с электродами Роговского имеет место однородное поле.
Поле расщепленных проводов.
В линиях электропередачи высокого напряжения фазовый провод расщепляют на несколько проводников в целях уменьшения потерь передаваемой мощности из-за коронного разряда. Для описания поля расщепленного
провода можно пользоваться функцией отображения , где n –
число отдельных проводников, на которые расщепляется фазовый провод. В качестве иллюстрации метода конформных отображений рассмотрим расщепление на два провода (n =2). (Заметим, что этот случай достаточно просто может быть решен методом изображений )
Пусть плоскость z перпендикулярна расщепленным проводам. Выберем ось х на z плоскости таким образом, чтобы она проходила через оси проводов. Пусть ось y проходит через середину отрезка между проводами. Решение существенно упрощается, если находить не функции x,y =f(u,v) , а функции u,v = f(x,y) . Разделяя действительную и мнимую части, получим:
, 
Эквипотенциальным линиям соответствует функция u . Чтобы функция u равнялась нулю, логарифм должен быть равен нулю, а выражение в квадратных скобках должно быть равно 1. Тогда выполняется соотношение:
(х 2 +у 2) 2 = 2а 2 (х 2 -у 2)
Эта функция проходит через начало координат z - плоскости. При u в диапазоне -1,28 < u < 0 на z - плоскости наблюдаются круговые области справа и слева от оси у . При u £ -1.28 это практически точки с координатами х = -а и х = а . При u > 0 решениями являются замкнутые кривые, которые при возрастании u приближаются по форме к окружностям. Эти кривые представляют собой потенциальные линии поля двух цилиндров с зарядами одного знака, т.е. поля двух проводов с одним потенциалом. Наибольший интерес представляют точки на поверхности проводов р 2 и р 1 , в которых, соответственно, наблюдается наибольшая и наименьшая напряженность поля. Точка р 2 находится на поверхности провода в наиболее удаленной от другого провода точке и имеет координаты:
, 
С учетом масштабного коэффициента для точки р 2 получаем:
. (2.109)
При s®0 электродная система превращается в систему двух коаксиальных цилиндров (b =0, s =0) (см.(2.18)):
Обычно для линии электропередачи p ³ 200.
Вопросы для самопроверки
1. Приведите фундаментальные уравнения Лапласа в пространстве, однородном и плоскопараллельном поле.
2. Приведите формулы для расчета потенциала и напряженности поля точечного заряда. Определите емкость одиночного металлического шара.
3. Приведите формулы для расчета потенциала и напряженности поля одиночной бесконечно тонкого прямого провода бесконечной длины.
4. Где находятся область с максимальной напряженностью поля у коаксиального кабеля. Найдите оптимальный диаметр внутренней жилы при заданном размере внешней оболочки и разности потенциалов между ними. Определите погонную емкость коаксиального кабеля.
5. Для чего изготовляют кабели с изоляцией из различных типов диэлектриков?
6. Объясните конструкцию конденсаторного ввода и его назначение.
7. В чем состоит метод наложения, и что такое частичная емкость?
8. Что такое электрический диполь, каковы характеристики поля диполя? Для объяснения каких явлений используется понятие диполя?
9. В чем состоит сходство и различие полей двух одноименных и разноименных зарядов?
10. Графически изобразите поле двух разноименно заряженных бесконечных осей. Приведите формулы для расчета такой системы и укажите точки с максимальной напряженностью поля.
11. В чем состоит метод отражения? Объясните сущность метода на примере расчета параметров поля одиночного провода над землей.
12. Приведите методику расчета параметров поля точечного заряда, расположенного вблизи металлического шара.
13. Определите напряженность электрического поля на поверхности одиночного провода, расположенного над землей.
14. Как определить параметры поля трехфазной линии?
15. Определите максимальную напряженность шарового разрядника.
16. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого проводником конечной длины.
17. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого кольцевым зарядом.
18. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого заряженным диском.
19. Как зависят параметры поля от радиуса закругления поверхности электрода? Для чего следует сглаживать и шлифовать поверхности электродов высокого напряжения?
20. Поясните сущность метода конформных отображений и перечислите последовательность расчета по этому методу.
21. Что такое профиль Роговского?
22. Как возникает объемный заряд, и как он изменяет характеристики электрического поля?
23. Какая из характеристик электрического поля является аналогом энергии?
24. Какая из характеристик электрического поля является аналогом силы?
25. С какой целью на линиях электропередач с номинальным напряжением 330 кВ и выше проводник одной фазы выполняют расщеплённым на несколько параллельных проводников? Укажите точки с максимальной напряженностью на расщеплённых проводах. Каковы расстояния между расщепленными проводниками?
26. Где напряженность электрического поля вблизи поверхности земли выше: в углублении (яме, овраге) или на возвышении (холм, бугор)? Ответ поясните графически и расчетом.
27. Как изменяется напряженность электрического поля на уровне земли под одноцепной линией электропередач с горизонтальным расположением фазных проводов?
28. Приведите алгоритм расчета емкости на землю трехфазной ВЛ.
29. С какой целью на аппаратах высокого напряжения ставятся кольцевые экраны?
30. Выведете формулы расчета параметров цилиндрического конденсатора.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Конформные отображения
1.Геометрический смысл производной функции комплексного переменного
конформный отображение функция
Геометрический смысл аргумента производной
Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями
x = x (t), y = y (t), б? t ? в,(1)
где x (t), y (t) -- действительные функции действительного переменного t. В дальнейшем предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные на интервале (б, в), причем x"(t) и y"(t) не обращаются в нуль одновременно. Кривая, обладающая указанными свойствами, называется гладкой.
Так как каждая точка (х, у) на плоскости задается комплексным числом z = х + iy, то уравнения (1) можно записать в более компактной форме:
z (t) = x (t) + i y (t), б? t ? в.
Возьмем значения t 0 и t 0 + Дt из интервала (б, в). Им соответствуют точки z (t 0) и z (t 0 + Д t) на кривой.
Вектор Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Дx + i Дy направлен по секущей, проходящей через эти точки.
Если умножить Дz на действительное число 1/ Дt, то получим вектор Дz / Дt, коллинеарный вектору Дz. Начнем уменьшать Дt. Тогда точка z (t 0 + Дt) будет приближаться к z (t 0) по кривой; вектор Дz/ Дt будет поворачиваться, приближаясь к вектору
Предельное положение секущих, проходящих через точку z (t 0), называется касательной к кривой в этой точке. Таким образом, вектор z " (t 0) направлен по касательной к кривой в точке z (t 0).
Пусть теперь задана функция f (z), аналитическая в точке z 0 , причем f "(z 0) ? 0. Предположим далее, что через точку z 0 проходит кривая г, заданная уравнением z (t) = x (t) + iy (t), и z (t 0) = z 0 . Кривая г отображается функцией w = f (z) в кривую Г, лежащую в плоскости переменного w; уравнение кривой Г будет иметь вид w (t) = f (z(t)); точка z 0 отобразится в точку w 0 = f (z 0). По правилу дифференцирования сложной функции
w " (t 0) = f " (z 0) ? z " (t 0).(2)
Отсюда следует, что
Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)
Но z " (t 0) есть вектор, касательный к кривой г в точке z 0 (рис. 1а), a w " (t 0) -- вектор, касательный к кривой Г в точке w 0 (рис. 1б). Поэтому равенство (3) позволяет придать величине Arg f " (z 0) следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу, на который поворачивается касательная в точке z 0 к любой кривой, проходящей через эту точку, при отображении w = f (z). Заметим, что этот угол не зависит от кривой г, т.е. касательные ко всем кривым, проходящим через точку z 0 , поворачиваются при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный Arg f " (z 0).
Возьмем какие-либо две кривые г и г1 проходящие через точку z 0 , и проведем касательные к этим кривым (рис. 1а). При отображении
w = f (z) кривые г и г1 перейдут в кривые Г и Г 1 , а каждая из касательных к г и г1 повернется на один и тот же угол. Поэтому угол и между касательными к г и г1 будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к Г и Г 1. Напомним, что углом между кривыми в точке z 0 называется угол между касательными к этим кривым в точке z 0 . Таким образом, если f "(z 0) ? 0, то отображение w = f (z) сохраняет углы между кривыми. Заметим, что при этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми г и г1 и их образами, но и направление углов. Это свойство данного отображения носит название свойства сохранения углов.
Геометрический смысл модуля производной
Зафиксируем точку z 0 и возьмем приращение аргумента Дz; очевидно, что модуль |Дz| равен расстоянию между точками z 0 и z = z 0 + Дz (рис. 2а). Пусть w = f (z), Дw = w -- w 0 . Тогда величина |Дw| / |Дz| указывает, в каком отношении изменяется расстояние между точками z 0 и z в результате отображения w = f (z). Предел называется коэффициентом растяжения в точке z 0 при отображении w = f (z). Поскольку
то модуль | f "(z 0) | равен коэффициенту растяжения в точке z 0 при отображении w = f (z). Если | f "(z 0) | > 1, то в достаточно малой окрестности точки z 0 расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если | f "(z 0)| < 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название свойства постоянного растяжения .
Так как производная f "(zo) не зависит от того, по какому пути точка z 0 + Дz приближается к z 0 , то коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем окружность l с центром z 0 и радиусом |Дz| (т.е. приращения Дz имеют фиксированный модуль, но различные направления -- рис. 2а). При отображении w = f (z) эта окружность перейдет в кривую L (рис. 2б); расстояние от точки w = f (z 0 + Дz) этой кривой до точки w 0 = f (z 0) равно
|Дw| = |w- w 0 | = |f (z 0 + Дz) - f (z 0)|.
Поскольку Дw = f " (z 0) Дz + б (Дz) Дz, где б (Дz) > 0 при Дz > 0, то |w - w 0 | = |f " (z 0) Дz + б(Дz) Дz|. Это равенство означает, что точки кривой L будут мало отличаться от окружности |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Дz| с центром w 0 и радиусом |f " (z 0)| | Дz| (точнее говоря, будут отличаться от этой окружности на величину более высокого порядка малости, чем |Дz| -- рис. 2б).
2.Понятие конформного отображения
Отображение называется конформным в точке z 0 , если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z 0 ; 2) растяжение в точке z 0 не зависит от направления.
Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.
Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1. Если функция w = f (z) является аналитической в точке z 0 и f "(z 0) ? 0, то f (z) осуществляет конформное отображение первого рода в точке z 0 . При этом Arg f " (z 0) означает угол поворота, a |f " (z 0)| -- коэффициент растяжения при данном отображении.
Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = , которая каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно оси ОХ.
Если f "(z 0) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z 0 . Так, отображение w = z 2 увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.
Отметим, что в силу общих свойств аналитических функций в окрестности точки w 0 определена однозначная аналитическая функция z = ц (w). Тем самым между окрестностями точек z 0 и w 0 установлено взаимно однозначное соответствие. Введем следующее фундаментальное определение.
Определение. Взаимно однозначное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w называется конформным, если это отображение во всех точках z ? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.
Подчеркнем, что данное определение подразумевает непрерывность рассматриваемого отображения.
Выясним теперь какими свойствами должна обладать функция комплексной переменной для того, чтобы отображение, осуществляемое этой функцией, было конформным. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функция f (z) является однозначной и однолистной аналитической функцией в области? и f " (z) ? 0 при z ?. Тогда функция f (z) производит конформное отображение области? на область G комплексной плоскости w, представляющую собой область значений функции w = f (z) при z ?.
Доказательство. Действительно, в силу условия f " (z) ? 0 при z ? отображение, осуществляемое функцией f (z), во всех точках области? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений, что и доказывает теорему.
Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой функцией. Естественно поставить вопрос, являются ли условия необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть функция f (z) осуществляет конформное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w и ограничена в?. Тогда функция f (z) является однолистной и аналитической в области?, причем f " (z) ? 0 при z ?.
Доказательство. Так как отображение, осуществляемое функцией f (z), является конформным, то оно является взаимно однозначным, и в любой точке z 0 ? выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Следовательно, для любых точек z 1 и z 2 , принадлежащих окрестности точки z 0 , с точностью до бесконечно малых величин выполняются соотношения
где Дz 1 = z 1 - z 0 и Дz 2 = z 2 - z 0 суть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки z 0 , а Дw 1 и Дw 2 - их образы (рис. 3).
Заметим, что в силу (4) соответствующие углы в точках z 0 и w 0 равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. Обозначив arg через, из (4) найдем, что и arg. Действительно,
Из (5) и (6) получим, что с точностью до бесконечно малых величин имеет место соотношение
В силу произвольности выбора точек z 1 и z 2 в окрестности точки z 0 соотношение (7) означает, что существует предел разностного отношенияпри. Этот предел по определению является производной функции f (z) в точке z 0 . Так как, то эта производная отлична от нуля:
Точка z 0 - произвольная точка области?; поэтому из (8) следует, что функция f (z) является аналитической в области? и f " (z) ? 0 при z ?. Однолистность следует из взаимной однозначности отображения. Теорема доказана. Итак, конформное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w осуществляется только однолистными аналитическими функциями комплексной переменной с производной, отличной от нуля во всех точках области?.
Отметим, что условие f " (z) ? 0 всюду в области? является необходимым, но недостаточным условием конформности отображения области? на область G, осуществляемого функцией f (z).
3.Общие свойства конформных отображений
Теорема 4. (теорема Римана). Пусть D и D" -- односвязные области на расширенных плоскостях переменных z и w соответственно, причем границы этих областей состоят более чем из одной точки. Тогда существует аналитическая функция, взаимно-однозначно и конформно отображающая D на D".
Из теоремы Римана следует, что односвязную область D нельзя конформно отобразить на единичный круг |w| < 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).
Отображение w = f (z) области D на D", существующее по теореме Римана, не является единственным. Для однозначного определения конформного отображения нужно задать дополнительные условия, называемые условиями нормировки, содержащие три действительных параметра. Например, достаточно в какой-либо одной точке z 0 области D задать значения
w 0 = f(z 0), .(9)
Здесь в качестве параметров выступают две координаты точки w 0 и действительное число. Условия (9) означают, что отображение w = f(z) является единственным, если для какой-либо точки z 0 области D задать ее образ w 0 в области D" и угол поворота бесконечно малых векторов в точке z 0 .
Можно задавать и другие условия нормировки, отличные от (9). Например, задают образы одной внутренней и одной граничной точек области D:
f(z 0) = w 0 , f(z 1) = w 1 ,
где z 0 , w 0 -- внутренние точки областей D, D", a z 0 , w 0 -- граничные точки этих областей. Здесь также присутствуют три действительных параметра: две координаты точки w 0 и положение граничной точки w 1 , которая определяется одним действительным числом (например, расстоянием, отложенным по границе области D" от некоторой фиксированной граничной точки). Укажем еще один вариант условий нормировки:
f(z k) = w k , k = 1,2,3,
где z k и w k -- граничные точки областей D и D".
Сформулируем следующее важное свойство конформных отображений.
Свойство 1. (принцип сохранения области). Если функция w = f(z) аналитична в области D и отлична от постоянной, то множество D", на которое она отображает D, также является областью (т.е. открытым связным множеством).
Перейдем к утверждениям, описывающим соответствие границ при конформных отображениях.
Свойство 2. (принцип соответствия границ). Пусть D и D" -- односвязные области, ограниченные непрерывными замкнутыми контурами Г и Г", составленными из конечного числа гладких кривых. Пусть, далее, функция w = f(z) конформно отображает D на D". Тогда эту функцию можно доопределить и в точках границы Г так, что она станет непрерывной в замкнутой области и отобразит Г взаимно-однозначно и непрерывно на Г ".
Указанное свойство означает, что при конформном отображении друг на друга двух областей между их границами устанавливается взаимно-однозначное и непрерывное соответствие.
Свойство 3. При взаимно-однозначном и конформном отображении областей D и D" сохраняется направление обхода их границ.
Другими словами, если при обходе границы область D остается слева, то и при соответствующем обходе границы области D" эта область остается слева.
Большое значение для построения конформных отображений имеет следующее свойство.
Свойство 4. (обратный принцип соответствия границ).
Пусть односвязные области D и D" ограничены кривыми Г и Г". Пусть, далее, функция w = f(z), аналитическая в D и непрерывная в, отображает Г взаимно-однозначно на Г ", причем, когда точка z обходит контур Г так, что область D остается слева, соответствующая точка w обходит контур Г " так, что область D" также остается слева. Тогда функция w = f(z) осуществляет взаимно-однозначное конформное отображение области D на область D".
Следовательно, для отыскания области, на которую функция w = f(z) отображает заданную область D, достаточно обойти границу области D и найти контур, на который эта граница отображается функцией f(z).
4.Основные функции
Линейная функция
Функция w = az + b,(10) , где а и b -- заданные комплексные числа и а?0, называется линейной функцией. Так как w " = а? 0, то отображение (10) является конформным во всей плоскости С. Докажем, что оно также однолистно в С. Если w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, то w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2). Поэтому при z 1 ? z 2 получаем, что w 1 ? w 2 , и однолистность установлена. Положив по определению w(?) = ?, получим однолистное отображение всей расширенной комплексной плоскости на.
Для изучения геометрических свойств отображения (10) рассмотрим вначале случай b = 0, т.е. w = az. Пусть а = , z = .Тогда
Поэтому для получения вектора w = az нужно выполнить следующие два действия:
1) умножить заданный вектор z на |а|. При этом направление вектора z останется прежним, но длина увеличится в |а| раз. Значит, умножение на |а| есть преобразование подобия (гомотетия) с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|;
2) повернуть полученный вектор |a|z на угол б.
Для рассмотрения общего случая (10) заметим, что при сложении вектора az с вектором b происходит параллельный перенос концевой точки вектора az на вектор b. Итак, отображение (10) получается путем композиции (т.е. последовательного выполнения) следующих трех операций: 1) преобразования подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|; 2) поворота вокруг начала координат на угол б; 3) параллельного переноса на вектор b.
Дробно-линейная функция.
Перейдем к изучению дробно-линейной функции, определяемой равенством
и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как
то естественно определить w(?) = а/с, w(--d/c) = ?. Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости.
Если с = 0, то w = и дробно-линейная функция сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что с? 0.
Умножим числитель и знаменатель дроби (11) на с и добавим в числителе +ad -- ad. Тогда дробь (11) можно представить в виде
Если bc -- ad = 0, то w = a/c и функция (11) сводится к постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия
с? 0, bc - ad ? 0.(13)
Покажем, что дробно-линейная функция (11) осуществляет взаимно-однозначное отображение на. С этой целью решим уравнение (11) относительно z (это возможно при z ? --d/c, z ? ?, w ? а /с, w ? ?):
Поэтому каждое значение w ? а/с и w ? ? имеет только один прообраз z ? - d/c и z ? ?. Но в силу определения значению w = а/с соответствует z = ?, а значению w = ? -- величина z = --d/c. Итак, каждая точка w имеет только один прообраз z , что и требовалось доказать.
Установим теперь конформность отображения (11). Так как
то при z ? - d/c и z ? ? производная w" существует и не равна нулю. По теореме 1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.
Для выяснения конформности при z = - d/c и z = ? нам понадобится следующее определение.
Под углом между двумя линиями в точке z = ? понимается угол между образами этих линий при отображении w = в начале координат.
Теорема 5. Дробно-линейная функция
Ad -- bс? 0, w(?) = а/с, w(- d/c) = ?, (14)
осуществляет взаимно-однозначное и конформное отображение расширенной комплексной плоскости на всю.
Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 5, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме 5.
Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.
Теорема 6. При дробно-линейном отображении (14) окружности всегда переходят в окружности.
(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)
Доказательство. Рассмотрим уравнение
А(х 2 +у 2) + Вх + Су + D = 0,(15)
где А, В, С, D -- действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Вх + Су + D = 0, т.е. уравнение прямой. Если А? 0, то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2
которое определяет либо окружность, если справа +R 2 , либо точку, если R = 0, либо пустое множество, если справа -R 2 . С другой стороны, любую окружность (в частности, прямую) можно задать уравнением вида (15).
Докажем вначале круговое свойство для отображения w = 1/z. Возьмем произвольную окружность на комплексной плоскости. Она задается уравнением (15). Обозначим z = х + iy, w = u + iv. Равенство w = 1/z дает z = 1/w, или
Чтобы получить уравнение кривой, в которую перейдет окружность при отображении w = 1/z, подставим в (15) найденные выражения для х и у:
A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0
Мы пришли к уравнению такого же вида, что и (15), но в плоскости переменного w = u + iv. Как мы видели ранее, такое уравнение определяет либо окружность (в частности, прямую при D = 0), либо точку, либо пустое множество. Но в силу взаимной однозначности дробно-линейного отображения окружность не может перейти в точку или в пустое множество. Значит, она переходит в окружность и круговое свойство отображения w = 1/z установлено.
Рассмотрим теперь общий случай дробно-линейного отображения (14). Если с = 0, то получим линейное отображение w = a 1 z + b 1 , которое сводится к растяжению с поворотом и сдвигу. Каждое из этих преобразований, очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения w = a 1 z + b 1 данное свойство имеет место.
Пусть теперь с? 0. Воспользовавшись равенством (12), представим дробно-линейное отображение в виде
где Е = , F =, G =.
Из равенства (16) следует, что дробно-линейное отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований:
1) w 1 = z + G; 2) w 2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2 . Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.
Чтобы сформулировать еще одно свойство дробно-линейных отображений, нам понадобиться следующее определение.
Точки А и А" называются симметричными относительно окружности радиуса R < ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и
ОА* ОА" = R 2 .(17)
Если точка А приближается к окружности (см. рис. 4), т.е. если ОА > R, то О А" тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если ОА > 0, то ОА" > ?. Поэтому для точки О симметричной будет бесконечно удаленная точка. Под симметрией относительно
окружности радиуса R = ? понимается обычная симметрия относительно прямой.
Лемма 7. Для того чтобы точки А и А" были симметричными относительно окружности Г (возможно, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через А и А", была перпендикулярна Г (рис. 5).
Доказательство. Необходимость. Пусть точки А и А" симметричны относительно окружности Г. Проведем произвольную окружность Г " через точки А и А" , и пусть В -- точка пересечения окружностей Г и Г". По известной теореме о секущей и касательной произведение секущей ОА" на ее внешнюю часть ОА равно квадрату касательной. В то же время, в силу
симметрии, ОА * ОА" = R 2 . Значит,
радиус ОВ является касательной к окружности Г". Поскольку радиус ОВ перпендикулярен касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г" перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г" -- прямая (это будет в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.
Достаточность. Пусть точки А и А" таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом (см. рис. 5). Докажем, что А и А" симметричны относительно Г. Так как прямая АА" перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит, точки О, А, А" лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и А" лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром АА" не была бы перпендикулярна Г.
Проведем произвольную окружность Г " через А и А" с радиусом R" < ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.
Мы доказали лемму 7 в случае R < ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.
Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):
Теорема 8. При дробно-линейном отображении (14) пара точек, симметричных относительно окружности (в частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.
Доказательство. Пусть точки z 1 и z 2 симметричны относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (14) Г перейдет в кривую г, которая по теореме 6 также является окружностью; точки z 1 и z 2 перейдут в точки w 1 и w 2 . Надо доказать, что w 1 и w 2 симметричны относительно г. Возьмем любую окружность г ", проходящую через w 1 и w 2 ,и рассмотрим ее прообраз Г " при отображении (14) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих в г "). Для этого выразим z из уравнения (14):
при ad - bc ? 0
Мы видим, что Г " получается из г" также дробно-линейным отображением. Поскольку г ` является окружностью, то по теореме 6 Г ` -- тоже окружность. Так как Г ` проходит через точки z 1 и z 2 , симметричные относительно Г, то по лемме 7 окружность Г ` перпендикулярна Г. В силу конформности дробно-линейного отображения и г ` перпендикулярна г. По лемме 7 отсюда следует, что точки w 1 и w 2 симметричны относительно г, и доказательство завершено.
Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).
Степенная функция. Понятие римановой поверхности.
Рассмотрим степенную функцию
где n -- натуральное число. Производная w" = nz n -1 существует и отлична от нуля во всех точках z ? 0, z ? ?. Поэтому отображение, осуществляемое функцией (18), является конформным во всех точках, кроме z = 0 и z = ?. Если записать переменные z и w в показательной форме, z = r e i ц, w = се i и, то (18) приводит к равенствам
с = r n , и = nц.
Отсюда видно, что окружности |z| = r переходят в окружности |w| = r n , угол 0 < ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.
Пусть точки z 1 и z 2 таковы, что z 2 = z 1 e i 2 р / n , n ? 2. Легко видеть, что z 1 ? z 2 , и. Поэтому отображение (18) не является однолистным во всей комплексной плоскости С, но является таковым внутри любого угла величиной б < 2 р /n с вершиной в начале координат.
Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.
Многозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел w.
Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Arg z), были однозначными. Функция Arg z является многозначной:
Arg z = arg z + 2рk ,
где arg z -- главное значение аргумента и к -- любое целое число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.
Пусть функция w = f(z) отображает область D на область Е. Обратной к функции w = f(z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g(w), определенная на области Е, которая каждому комплексному числу w Е ставит в соответствие все комплексные числа zD, такие что f(z) = w.
Другими словами, функция, обратная к w = f(z), -- это правило, по которому каждой точке wЕ соответствуют все ее прообразы zD.
Если функция w = f(z) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е; если w = f(z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции w = z n является многозначная функция z = : каждому значению w, отличному от 0 и?, соответствует n различных корней n-й степени, определяемых формулой
Числа 0 и? имеют по одному корню: , а.
Теорема 9. Пусть функция w = f(z) однолистна и аналитична в области D, отображает D на область Е и f "(z) ? 0. Тогда обратная функция z = g(w) также аналитична в области Е и
Доказательство. Зафиксируем произвольную точку zD и возьмем приращение Дz ? 0. Тогда, в силу однолистности функции w = f(z), соответствующее приращение Дw = f(z + Дz) -- f(z) также не равно нулю. Поэтому
Так как функция w = f(z) аналитична, то она непрерывна в точке z.
Следовательно, Дw > 0 при Дz > 0, а в силу взаимной однозначности верно и обратное: Дz > 0 при Дw > 0. Отсюда
что и требовалось доказать.
Аргументом функции z = g(w), обратной w = f(z), является переменная w. Поскольку аргумент функции часто обозначают через z, то для единообразия переобозначают переменные z и w и пишут w = g(z). Например, обратная функция к w = z n запишется как w = .
Рассмотрим подробнее функцию w = . Как было отмечено выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная плоскость, на котором функция w =станет взаимно-однозначной и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем n экземпляров ("листов") D 0 , D 1 ,..., D n -1 комплексной плоскости, разрезанной вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над другом (на рис. 6а показан случай n = 4).
Затем тот край разреза области D 0 , к которому мы подходим снизу от луча ОХ (т.е. по полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.
Она называется римановой поверхностью функции w = . Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и?, расположено ровно n точек римановой поверхности. Точки х > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ?.Все листы римановой поверхности считаются склеенными в точках, расположенных над точками z = 0 и z = ?.
Определим теперь функцию w = на построенной римановой поверхности. Напомним, что если z = r e iц, то все корни n-й степени из z определяются формулой (*):
Угол ц в этой формуле можно выбирать из любого промежутка длины 2р; нам удобно предполагать, что 0 ? ц < 2р.
Точкам z = r e iц, лежащим на листе D 0 и склейке D 0 с D n -1 , ставим в соответствие значение корня с k = 0; точкам, лежащим на листе D 1 и склейке D 1 с D 0 , -- значение корня с k = 1. Вообще, точкам, лежащим на D k , при 1 ? k ? n-1, и склейке D k , с D k -1 , соответствует значение корня с данным k. Построенное соответствие будет однозначной функцией на римановой поверхности.
Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отображает риманову поверхность на всю комплексную плоскость. Действительно, лист D k будет отображаться в угол, а склейки отобразятся в лучи, соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость будет покрыта образами точек римановой поверхности.
Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точка z лежит на листе D k с разрезом, то непрерывность в этой точке прямо следует из формулы (20) с фиксированным к. Для демонстрации непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над окружностью |z| = 1 комплексной плоскости. Начнем обходить этот контур с точки z, расположенной на верхнем крае разреза листа D 0 . Так как r = 1, ц = 0, k = 0, то w = = 1. При обходе первого витка контура на листе D 0 будет
и. Перейдя по склейке на лист D 1 , мы получим, по определению, (так как к = 1). В частности, при ц = 0 будет то же самое значение корня, к которому мы приближались, подходя к нижнему берегу разреза по листу D 0 . Значит, в точках склейки D 0 c D 1 функция будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня и при переходе с D k -1 на D k при 1 ? k ? n-1. Наконец, обходя контур по листу D n -1 и приближаясь к нижнему краю разреза, получим k = n - 1, и,
т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа D 0 . Таким образом, функция будет непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = ?).
Возьмем любую окружность |z| = r на комплексной плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также и точку z = ?. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром в точке z ? 0, z ? ?, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие точки на римановой поверхности образуют n окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.
Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F (z), определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке z области D совпадает с одним из значений F (z) в этой точке.
Многозначная функция F (z) является однозначной и аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по лестнице). Например, кольцо 1 < |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.
Показательная и логарифмическая функции
1. Показательная функция e z определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = х + iу
e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)
Второе равенство в (21) получается, если принять по определению е х + i у = е х е i у и применить к е i у формулу Эйлера. Из (21) следует, что
|e z | = |е x + i у | = е x , Arg e z = у + 2 рn.
Определение (21) и свойства функции е i ц позволяют легко доказать, что функция e z обладает обычными свойствами показательной функции:
e z 1+ z 2 = e z 1 e z 2 ; e z 1 - z 2 = e z 1 /e z 2 ;(e z) n = e nz .
Докажем, что функция e z будет аналитической во всей комплексной плоскости С. Для этого надо проверить выполнимость условий Коши--Римана (7). Если w = u + iv, то в силу (21) u + iv = е х cos у + iе х sin у, откуда
u = е х cos у, v = e x sin y;
Таким образом, условия (7) выполнены, и аналитичность функции e z доказана. Чтобы вычислить производную (e z)", воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:
Следовательно, для производной функции e z имеет место обычная формула
Следующее свойство функции e z не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного: функция e z является периодической с чисто мнимым периодом 2рi. В самом деле, для любого целого n
e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = е x (cos y + i sin y) = e z .
Из периодичности функции w = e z следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна, положим z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = х 2 + iy 2 . В силу (21), равенство e z 1 = e z 2 равносильно следующим условиям:
e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,
откуда следует х 1 = x 2 , y 1 = y 2 + 2рn, где n -- произвольное целое число, или
z 1 - z 2 = 2рni.(22)
Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = e z в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары точек, для которой справедливо (22). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2р, например полосы
{z: - ? < х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...
Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = e z = e x e iy = сe iи для которых, в силу равенств с = е х, и = у, имеем
0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).
Эти значения w заполняют всю комплексную плоскость переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси. При этом прямые у = у 0 (показаны на рис. 7, а пунктиром) переходят в лучи и = у 0 (рис. 7б), а интервалы x = x 0 , 2рk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями
для k = 0) -- в окружности сe x 0 (с выколотыми точками на полуоси u > 0). Полосы 0 < Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.
2. Логарифмической функцией называется функция, обратная показательной.
Так как показательная функция e z не является однолистной в С, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = e w . Положим
w = u + iv, z = r e iц = re iArg z .
re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .
Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что
r = e u , e i Arg z = e iv .(23)
Из первого равенства находим u = ln r, где ln r -- обычный натуральный логарифм положительного числа r. Второе равенство в (23) дает v = Arg z. Таким образом,
Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)
Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и?, формула (24) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 рki, где k -- любое целое число. Удобно представить Arg z в виде
Arg z = arg z + 2 рk, - р < arg z ? р,
где arg z -- главное значение аргумента. Тогда формула (24) примет вид
Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)
Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции e z . Таким образом, для каждого фиксированного k формула (25) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной полуоси в полосу
Р + 2 рk < Im w < р + 2рk.
Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:
ln z = ln |z| + i arg z.
Например, ln i = ln 1 + iр/2 = iр/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Если приближаться к точке z = -- 1 по верхней полуплоскости у > 0, то; если по нижней, -- то.
Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 8. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ?,
располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и? функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления бесконечного порядка.
Рис. 8 наглядно демонстрирует причину того, что: если предположить, что точки -- 1 ± h, h > 0, находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h, к нулю, то предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.
Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом и к оси ОХ. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = e iц
Ln z = ln r + i(ц + 2рk), и < ц < и + 2 р.
Формула (25) является частным случаем при и = - р. Производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по формуле, аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (e z)" = e z и формулы (19) производной обратной функции. Действительно, обратной к w = f(z) будет функция z = e w . Отсюда и из (19) получаем
Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского
1. Общая степенная функция, где -- фиксированное комплексное число, определяется соотношением.
Полагая, получаем Ln z = ln r + i(ц + 2рk). Следовательно,
Отсюда видно, что при модуль принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при функция будет бесконечнозначной.
Общая степенная функция в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь, выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства
где f (z) -- регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:
2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера следует, что
е i х = cos х + i sin x, е - i х = cos x -- i sin x.
Отсюда cos x = , sin x =. Эти формулы служат основой следующего определения.
Тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами
Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. Из периодичности функции e z следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2 р, a tg z и ctg z -- с периодом р. Функция sin z нечетна, a cos z -- четна. Действительно,
Аналогично доказывается четность функции cos z. Для функций, определенных равенствами (26), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,
sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2 и т.д. Все эти соотношения вытекают из (26).
Функции sin z и cos z аналитичны во всей плоскости С, причем имеют место обычные формулы дифференцирования:
(sin z) " = cos z, (cos z) " = - sin z.
Докажем, например, формулу для производной sinz:
Используя формулы для производной частного, получим
Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sinz и cosz могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,
3. Функции, обратные (26), называются обратными тригонометрическими функциями. Так как тригонометрические функции (26) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (26) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для w = Arccos z. Из определения этой функции имеем
откуда e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно e i w , находим (мы опускаем ± перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем
В силу соотношения изменение знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с "--". Значит, и среди значений Arccos z будут значения как с "+", так и с " --" перед логарифмом. Поэтому знак "--" можно не писать:
Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:
Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и cth z, определяемые равенствами
Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции:
sh z = -- i sin iz,
th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,
и поэтому несущественно отличаются от последних.
Функцией Жуковского называется функция
Эта функция имеет важные применения в теории крыла самолета, а также весьма полезна при построении ряда конформных отображений. Она аналитична всюду в, кроме точек z = 0 и z = ?. Производная
существует всюду в, за исключением точек z = 0 и z = ?, и обращается в нуль при z = ±1. Поэтому отображение (30) конформно всюду, кроме точек 0, ±1 ,?.
Выясним, при каком условии две различные точки переходят в одну и ту же точку. Пусть z 1 ? z 2 и.
Отсюда следует, что.
Так как z 1 ? z 2 , то это равенство равносильно условию z l z 2 = 1.(31)
Поэтому для однолистности функции Жуковского в некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала пары различных точек, удовлетворяющих условию (31). Такими областями являются, например, внешность |z| > 1 единичного круга (при этом |z 1 z 2 | > 1) и внутренность |z| < 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).
Чтобы наглядно представить себе отображение (30), выясним, в какие кривые оно переводит окружности (показаны на рис. 9а сплошными линиями) и лучи (показаны пунктирами). Положим z =. Тогда (30) перепишется в виде
откуда (32)
Рассмотрим образы окружностей r = r 0 . Из (32) следует
Возводя эти равенства в квадрат, складывая и полагая r = r 0 , получим
Уравнение (33) является уравнением эллипса с полуосями
Итак, образами окружностей |z| = r 0 в плоскости z будут эллипсы в плоскости w (рис. 9б). Если r 0 > 1, то a r 0 > 1, b r 0 > 0. Поэтому эллипсы будут стягиваться к отрезку [--1,1]. При больших r 0 разность a r 0 -- b r 0 = мала, и эллипсы мало отличаются от окружностей.
Чтобы получить образ лучей, преобразуем равенства (32) к виду
Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и полагая
Получим (34)
Уравнение (34) является уравнением гиперболы с полуосями,. Следовательно, лучи отображаются в части гипербол (рис. 9б). Таким образом, функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].
Из (30) легко видеть, что w(z) = w(l/z). Функция w = 1/z взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга |z| < 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].
...Подобные документы
Сущность конформного отображения 1 и 2 рода, аналитической функции в заданной области. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции. Величина коэффициента растяжения в точке. Сохранение функции отличной от нуля по величине и напряжению.
презентация , добавлен 17.09.2013
Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация , добавлен 18.12.2014
Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация , добавлен 21.09.2013
Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация , добавлен 14.11.2014
Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья , добавлен 11.01.2004
Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат , добавлен 17.05.2009
Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа , добавлен 07.09.2010
Понятие конформного отображения и его основные свойства. Основные принципы конформных отображений функций комплексного переменного, их гидродинамические аналогии и интерпретации. Применение метода конформных отображений в механике сплошных сред.
дипломная работа , добавлен 26.08.2014
Первообразная функции и неопределенный интеграл. Геометрический смысл производной. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х. Понятие подынтегрального выражения. Проверка правильности результата интегрирования, примеры задач.
презентация , добавлен 18.09.2013
Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.
Решении прикладных задач часто возникает необходимость преобразовать заданную область в область более простого вида, причем так, чтобы сохранялись углы между кривыми. Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке, если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов. Открытыеобласти и называютсяконформноэквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую. Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае - привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ. Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7" комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w - f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7" (рис. 1). Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области - верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости. Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22. Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>(Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1. Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во(Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl - 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III - I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку {-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31 Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2 Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг, с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг, с разрезом по отрезку и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1. Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во(Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl - 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III - I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку {-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31 Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2 Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг, с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг, с разрезом по отрезку }
