≡× МЕНЮ

• Гаджеты
• Android
• Windows
• Ios
• Блог

Определитель делится на. Свойства определителей

— Отпустите синицу на верную смерть!
Пусть её приласкает свобода!
И корабль плывёт, и реактор ревёт...
— Паш, ты упоролся?

Помню, класса до 8-го мне не нравилась алгебра. Вообще не нравилась. Бесила она меня. Потому что я там ничего не понимал.

А затем всё изменилось, потому что я просёк одну фишку:

В математике вообще (и алгебре в частности) всё строится на грамотной и последовательной системе определений. Знаешь определения, понимаешь их суть — разобраться в остальном не составит труда.

Вот так и с темой сегодняшнего урока. Мы детально рассмотрим несколько смежных вопросов и определений, благодаря чему вы раз и навсегда разберётесь и с матрицами, и с определителями, и со всеми их свойствами.

Определители — центральное понятие в алгебре матриц. Подобно формулам сокращённого умножения, они будут преследовать вас на протяжении всего курса высшей математики. Поэтому читаем, смотрим и разбираемся досконально.:)

И начнём мы с самого сокровенного — а что такое матрица? И как правильно с ней работать.

Правильная расстановка индексов в матрице

Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Нео тут ни при чём.

Одна из ключевых характеристик матрицы — это её размерность, т.е. количество строк и столбцов, из которых она состоит. Обычно говорят, что некая матрица $A$ имеет размер $\left[ m\times n \right]$, если в ней имеется $m$ строк и $n$ столбцов. Записывают это так:

Или вот так:

Бывают и другие обозначения — тут всё зависит от предпочтений лектора/ семинариста/ автора учебника. Но в любом случае со всеми этими $\left[ m\times n \right]$ и ${{a}_{ij}}$ возникает одна и та же проблема:

Какой индекс за что отвечает? Сначала идёт номер строки, затем — столбца? Или наоборот?

При чтении лекций и учебников ответ будет казаться очевидным. Но когда на экзамене перед вами — только листик с задачей, можно переволноваться и внезапно запутаться.

Поэтому давайте разберёмся с этим вопросом раз и навсегда. Для начала вспомним обычную систему координат из школьного курса математики:

Введение системы координат на плоскости

Помните её? У неё есть начало координат (точка $O=\left(0;0 \right)$) оси $x$и $y$, а каждая точка на плоскости однозначно определяется по координатам: $A=\left(1;2 \right)$, $B=\left(3;1 \right)$ и т.д.

А теперь давайте возьмём эту конструкцию и поставим её рядом с матрицей так, чтобы начало координат находилось в левом верхнем углу. Почему именно там? Да потому что открывая книгу, мы начинаем читать именно с левого верхнего угла страницы — запомнить это легче лёгкого.

Но куда направить оси? Мы направим их так, чтобы вся наша виртуальная «страница» была охвачена этими осями. Правда, для этого придётся повернуть нашу систему координат. Единственно возможный вариант такого расположения:

Наложение системы координат на матрицу

Теперь всякая клетка матрицы имеет однозначные координаты $x$ и $y$. Например запись ${{a}_{24}}$ означает, что мы обращаемся к элементу с координатами $x=2$ и $y=4$. Размеры матрицы тоже однозначно задаются парой чисел:

Определение индексов в матрице

Просто всмотритесь в эту картинку внимательно. Поиграйтесь с координатами (особенно когда будете работать с настоящими матрицами и определителями) — и очень скоро поймёте, что даже в самых сложных теоремах и определениях вы прекрасно понимаете, о чём идёт речь.

Разобрались? Что ж, переходим к первому шагу просветления — геометрическому определению определителя.:)

Геометрическое определение

Прежде всего хотел бы отметить, что определитель существует только для квадратных матриц вида $\left[ n\times n \right]$. Определитель — это число, которое cчитается по определённым правилам и является одной из характеристик этой матрицы (есть другие характеристики: ранг, собственные вектора, но об этом в других уроках).

Ну и что это за характеристика? Что он означает? Всё просто:

Определитель квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это объём $n$-мерного параллелепипеда, который образуется, если рассмотреть строки матрицы в качестве векторов, образующих рёбра этого параллелепипеда.

Например, определитель матрицы размера 2x2 — это просто площадь параллелограмма, а для матрицы 3x3 это уже объём 3-мерного параллелепипеда — того самого, который так бесит всех старшеклассников на уроках стереометрии.

На первый взгляд это определение может показаться совершенно неадекватным. Но давайте не будем спешить с выводами — глянем на примеры. На самом деле всё элементарно, Ватсон:

Задача. Найдите определители матриц:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Первые два определителя имеют размер 2x2. Значит, это просто площади параллелограммов. Начертим их и посчитаем площадь.

Первый параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;0 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(0;3 \right)$:

Определитель 2x2 — это площадь параллелограмма

Очевидно, это не просто параллелограмм, а вполне себе прямоугольник. Его площадь равна

Второй параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;-1 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(2;2 \right)$. Ну и что с того? Это тоже прямоугольник:

Ещё один определитель 2x2

Стороны этого прямоугольника (по сути — длины векторов) легко считаются по теореме Пифагора:

\[\begin{align} & \left| {{v}_{1}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}; \\ & \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}; \\ & S=\left| {{v}_{1}} \right|\cdot \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4. \\\end{align}\]

Осталось разобраться с последним определителем — там уже матрица 3x3. Придётся вспоминать стереометрию:

Определитель 3x3 — это объём параллелепипеда

Выглядит мозговыносяще, но по факту достаточно вспомнить формулу объёма параллелепипеда:

где $S$ — площадь основания (в нашем случае это площадь параллелограмма на плоскости $OXY$), $h$ — высота, проведённая к этому основанию (по сути, $z$-координата вектора ${{v}_{3}}$).

Площадь параллелограмма (мы начертили его отдельно) тоже считается легко:

\[\begin{align} & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end{align}\]

Вот и всё! Записываем ответы.

Ответ: 3; 4; 24.

Небольшое замечание по поводу системы обозначений. Кому-то наверняка не понравится, что я игнорирую «стрелочки» над векторами. Якобы так можно спутать вектор с точкой или ещё с чем.

Но давайте серьёзно: мы с вами уже взрослые мальчики и девочки, поэтому из контекста прекрасно понимаем, когда речь идёт о векторе, а когда — о точке. Стрелки лишь засоряют повествование, и без того под завязку напичканное математическими формулами.

И ещё. В принципе, ничто не мешает рассмотреть и определитель матрицы 1x1 — такая матрица представляет собой просто одну клетку, а число, записанное в этой клетке, и будет определителем. Но тут есть важное замечание:

В отличие от классического объёма, определитель даст нам так называемый «ориентированный объём », т.е. объём с учётом последовательности рассмотрения векторов-строк.

И если вы хотите получить объём в классическом смысле этого слова, придётся взять модуль определителя, но сейчас не стоит париться об этом — всё равно через несколько секунд мы научимся считать любой определитель с любыми знаками, размерами и т.д.:)

Алгебраическое определение

При всей красоте и наглядности геометрического подхода у него есть серьёзный недостаток: он ничего не говорит нам о том, как этот самый определитель считать.

Поэтому сейчас мы разберём альтернативное определение — алгебраическое. Для этого нам потребуется краткая теоретическая подготовка, зато на выходе мы получим инструмент, позволяющий считать в матрицах что и как угодно.

Правда, там появится новая проблема... но обо всём по порядку.

Перестановки и инверсии

Давайте выпишем в строчку числа от 1 до $n$. Получится что-то типа этого:

Теперь (чисто по приколу) поменяем парочку чисел местами. Можно поменять соседние:

А можно — не особо соседние:

И знаете, что? А ничего! В алгебре эта хрень называется перестановкой. И у неё есть куча свойств.

Определение. Перестановка длины $n$ — строка из $n$ различных чисел, записанных в любой последовательности. Обычно рассматриваются первые $n$ натуральных чисел (т.е. как раз числа 1, 2, ..., $n$), а затем их перемешивают для получения нужной перестановки.

Обозначаются перестановки так же, как и векторы — просто буквой и последовательным перечислением своих элементов в скобках. Например: $p=\left(1;3;2 \right)$ или $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Буква может быть любой, но пусть будет $p$.:)

Далее для простоты изложения будем работать с перестановками длины 5 — они уже достаточно серьёзны для наблюдения всяких подозрительных эффектов, но ещё не настолько суровы для неокрепшего мозга, как перестановки длины 6 и более. Вот примеры таких перестановок:

\[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2;5;4 \right) \\ & {{p}_{3}}=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end{align}\]

Естественно, перестановку длины $n$ можно рассматривать как функцию, которая определена на множестве $\left\{ 1;2;...;n \right\}$ и биективно отображает это множество на себя же. Возвращаясь к только что записанным перестановкам ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$, мы вполне законно можем написать:

\[{{p}_{1}}\left(1 \right)=1;{{p}_{2}}\left(3 \right)=2;{{p}_{3}}\left(2 \right)=4;\]

Количество различных перестановок длины $n$ всегда ограничено и равно $n!$ — это легко доказуемый факт из комбинаторики. Например, если мы захотим выписать все перестановки длины 5, то мы весьма заколебёмся, поскольку таких перестановок будет

Одной из ключевых характеристик всякой перестановки является количество инверсий в ней.

Определение. Инверсия в перестановке $p=\left({{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}} \right)$ — всякая пара $\left({{a}_{i}};{{a}_{j}} \right)$ такая, что $i \lt j$, но ${{a}_{i}} \gt {{a}_{j}}$. Проще говоря, инверсия — это когда большее число стоит левее меньшего (не обязательно соседнего).

Мы будем обозначать через $N\left(p \right)$ количество инверсий в перестановке $p$, но будьте готовы встретиться и с другими обозначениями в разных учебниках и у разных авторов — единых стандартов тут нет. Тема инверсий весьма обширна, и ей будет посвящён отдельный урок. Сейчас же наша задача — просто научиться считать их в реальных задачах.

Например, посчитаем количество инверсий в перестановке $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right).\]

Таким образом, $N\left(p \right)=5$. Как видите, ничего страшного в этом нет. Сразу скажу: дальше нас будет интересовать не столько само число $N\left(p \right)$, сколько его чётность/ нечётность. И тут мы плавно переходим к ключевому термину сегодняшнего урока.

Что такое определитель

Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$. Тогда:

Определение. Определитель матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это алгебраическая сумма $n!$ слагаемых, составленных следующим образом. Каждое слагаемое — это произведение $n$ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (−1) в степени количество инверсий:

\[\left| A \right|=\sum\limits_{n!}{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]

Принципиальным моментом при выборе множителей для каждого слагаемого в определителе является тот факт, что никакие два множителя не стоят в одной строчке или в одном столбце.

Благодаря этому можно без ограничения общности считать, что индексы $i$ множителей ${{a}_{i;j}}$ «пробегают» значения 1, ..., $n$, а индексы $j$ являются некоторой перестановкой от первых:

А когда есть перестановка $p$, мы легко посчитаем инверсии $N\left(p \right)$ — и очередное слагаемое определителя готово.

Естественно, никто не запрещает поменять местами множители в каком-либо слагаемом (или во всех сразу — чего мелочиться-то?), и тогда первые индексы тоже будут представлять собой некоторую перестановку. Но в итоге ничего не поменяется: суммарное количество инверсий в индексах $i$ и $j$ сохраняет чётность при подобных извращениях, что вполне соответствует старому-доброму правилу:

От перестановки множителей произведение чисел не меняется.

Вот только не надо приплетать это правило к умножению матриц — в отличие от умножения чисел, оно не коммутативно. Но это я отвлёкся.:)

Матрица 2x2

Вообще-то можно рассмотреть и матрицу 1x1 — это будет одна клетка, и её определитель, как нетрудно догадаться, равен числу, записанному в этой клетке. Ничего интересного.

Поэтому давайте рассмотрим квадратную матрицу размером 2x2:

\[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right]\]

Поскольку количество строк в ней $n=2$, то определитель будет содержать $n!=2!=1\cdot 2=2$ слагаемых. Выпишем их:

\[\begin{align} & {{\left(-1 \right)}^{N\left(1;2 \right)}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{\left(-1 \right)}^{0}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{a}_{11}}{{a}_{22}}; \\ & {{\left(-1 \right)}^{N\left(2;1 \right)}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{\left(-1 \right)}^{1}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{a}_{12}}{{a}_{21}}. \\\end{align}\]

Очевидно, что в перестановке $\left(1;2 \right)$, состоящей из двух элементов, нет инверсий, поэтому $N\left(1;2 \right)=0$. А вот в перестановке $\left(2;1 \right)$ одна инверсия имеется (собственно, 2 < 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Итого универсальная формула вычисления определителя для матрицы 2x2 выглядит так:

\[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right|={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}\]

Графически это можно представить как произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов на побочной:

Определитель матрицы 2x2

Рассмотрим пару примеров:

\[\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|;\quad \left| \begin{matrix} 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end{matrix} \right|.\]

Решение. Всё считается в одну строчку. Первая матрица:

И вторая:

Ответ: −3; −161.

Впрочем, это было слишком просто. Давайте рассмотрим матрицы 3x3 — там уже интересно.

Матрица 3x3

Теперь рассмотрим квадратную матрицу размера 3x3:

\[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right]\]

При вычислении её определителя мы получим $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ слагаемых — ещё не слишком много для паники, но уже достаточно, чтобы начать искать какие-то закономерности. Для начала выпишем все перестановки из трёх элементов и посчитаем инверсии в каждой из них:

\[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{1}} \right)=N\left(1;2;3 \right)=0; \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{2}} \right)=N\left(1;3;2 \right)=1; \\ & {{p}_{3}}=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{3}} \right)=N\left(2;1;3 \right)=1; \\ & {{p}_{4}}=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{4}} \right)=N\left(2;3;1 \right)=2; \\ & {{p}_{5}}=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{5}} \right)=N\left(3;1;2 \right)=2; \\ & {{p}_{6}}=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{6}} \right)=N\left(3;2;1 \right)=3. \\\end{align}\]

Как и предполагалось, всего выписано 6 перестановок ${{p}_{1}}$, ... ${{p}_{6}}$ (естественно, можно было бы выписать их в другой последовательности — суть от этого не изменится), а количество инверсий в них меняется от 0 до 3.

В общем, у нас будет три слагаемых с «плюсом» (там, где $N\left(p \right)$ — чётное) и ещё три с «минусом». А в целом определитель будет считаться по формуле:

\[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right|=\begin{matrix} {{a}_{11}}{{a}_{22}}{{a}_{33}}+{{a}_{12}}{{a}_{23}}{{a}_{31}}+{{a}_{13}}{{a}_{21}}{{a}_{32}}- \\ -{{a}_{13}}{{a}_{22}}{{a}_{31}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}{{a}_{33}}-{{a}_{11}}{{a}_{23}}{{a}_{32}} \\\end{matrix}\]

Вот только не надо сейчас садиться и яростно зубрить все эти индексы! Вместо непонятных цифр лучше запомните следующее мнемоническое правило:

Правило треугольника. Для нахождения определителя матрицы 3x3 нужно сложить три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников со стороной, параллельной этой диагонали, а затем вычесть такие же три произведения, но на побочной диагонали. Схематически это выглядит так:

Определитель матрицы 3x3: правило треугольников

Именно эти треугольники (или пентаграммы — кому как больше нравится) любят рисовать во всяких учебниках и методичках по алгебре. Впрочем, не будем о грустном. Давайте лучше посчитаем один такой определитель — для разминки перед настоящей жестью.:)

Задача. Вычислите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Работаем по правилу треугольников. Сначала посчитаем три слагаемых, составленных из элементов на главной диагонали и параллельно ей:

\[\begin{align} & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end{align}\]

Теперь разбираемся с побочной диагональю:

\[\begin{align} & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end{align}\]

Осталось лишь вычесть из первого числа второе — и мы получим ответ:

Вот и всё!

Тем не менее, определители матриц 3x3 — это ещё не вершина мастерства. Самое интересное ждёт нас дальше.:)

Общая схема вычисления определителей

Как мы знаем, с ростом размерности матрицы $n$ количество слагаемых в определителе составляет $n!$ и быстро растёт. Всё-таки факториал — это вам не хрен собачий довольно быстро растущая функция.

Уже для матриц 4x4 считать определители напролом (т.е. через перестановки) становится как-то не оч. Про 5x5 и более вообще молчу. Поэтому к делу подключаются некоторые свойства определителя, но для их понимания нужна небольшая теоретическая подготовка.

Готовы? Поехали!

Что такое минор матрицы

Пусть дана произвольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Заметьте: не обязательно квадратная. В отличие от определителей, миноры — это такие няшки, которые существуют не только в суровых квадратных матрицах. Выберем в этой матрице несколько (например, $k$) строк и столбцов, причём $1\le k\le m$ и $1\le k\le n$. Тогда:

Определение. Минор порядка $k$ — определитель квадратной матрицы, возникающей на пересечении выбранных $k$ столбцов и строк. Также минором мы будем называть и саму эту новую матрицу.

Обозначается такой минор ${{M}_{k}}$. Естественно, у одной матрицы может быть целая куча миноров порядка $k$. Вот пример минора порядка 2 для матрицы $\left[ 5\times 6 \right]$:

Выбор $k = 2$ столбцов и строк для формирования минора

Совершенно необязательно, чтобы выбранные строки и столбцы стояли рядом, как в рассмотренном примере. Главное, чтобы количество выбранных строк и столбцов было одинаковым (это и есть число $k$).

Есть и другое определение. Возможно, кому-то оно больше придётся по душе:

Определение. Пусть дана прямоугольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Если после вычеркивания в ней одного или нескольких столбцов и одной или нескольких строк образуется квадратная матрица размера $\left[ k\times k \right]$, то её определитель — это и есть минор ${{M}_{k}}$. Саму матрицу мы тоже иногда будем называть минором — это будет ясно из контекста.

Как говорил мой кот, иногда лучше один раз навернуться с 11-го этажа есть корм, чем мяукать, сидя на балконе.

Пример. Пусть дана матрица

Выбирая строку 1 и столбец 2, получаем минор первого порядка:

\[{{M}_{1}}=\left| 7 \right|=7\]

Выбирая строки 2, 3 и столбцы 3, 4, получаем минор второго порядка:

\[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end{matrix} \right|=5-18=-13\]

А если выбрать все три строки, а также столбцы 1, 2, 4, будет минор третьего порядка:

\[{{M}_{3}}=\left| \begin{matrix} 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Читателю не составит труда найти и другие миноры порядков 1, 2 или 3. Поэтому идём дальше.

Алгебраические дополнения

«Ну ok, и что дают нам эти миньоны миноры?» — наверняка спросите вы. Сами по себе — ничего. Но в квадратных матрицах у каждого минора появляется «компаньон» — дополнительный минор, а также алгебраическое дополнение. И вместе эти два ушлёпка позволят нам щёлкать определители как орешки.

Определение. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, в которой выбран минор ${{M}_{k}}$. Тогда дополнительный минор для минора ${{M}_{k}}$ — это кусок исходной матрицы $A$, который останется при вычёркивании всех строк и столбцов, задействованных при составлении минора ${{M}_{k}}$:

Дополнительный минор к минору ${{M}_{2}}$

Уточним один момент: дополнительный минор — это не просто «кусок матрицы», а определитель этого куска.

Обозначаются дополнительные миноры с помощью «звёздочки»: $M_{k}^{*}$:

где операция $A\nabla {{M}_{k}}$ буквально означает «вычеркнуть из $A$ строки и столбцы, входящие в ${{M}_{k}}$». Эта операция не является общепринятой в математике — я её сам только что придумал для красоты повествования.:)

Дополнительные миноры редко используются сами по себе. Они являются частью более сложной конструкции — алгебраического дополнения.

Определение. Алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ — это дополнительный минор $M_{k}^{*}$, умноженный на величину ${{\left(-1 \right)}^{S}}$, где $S$ — сумма номеров всех строк и столбцов, задействованных в исходном миноре ${{M}_{k}}$.

Как правило, алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ обозначается через ${{A}_{k}}$. Поэтому:

\[{{A}_{k}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{k}^{*}\]

Сложно? На первый взгляд — да. Но это не точно. Потому что на самом деле всё легко. Рассмотрим пример:

Пример. Дана матрица 4x4:

Выберем минор второго порядка

\[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end{matrix} \right|\]

Капитан Очевидность как бы намекает нам, что при составлении этого минора были задействованы строки 1 и 4, а также столбцы 3 и 4. Вычёркиваем их — получим дополнительный минор:

Осталось найти число $S$ и получить алгебраическое дополнение. Поскольку мы знаем номера задействованных строк (1 и 4) и столбцов (3 и 4), всё просто:

\[\begin{align} & S=1+4+3+4=12; \\ & {{A}_{2}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{2}^{*}={{\left(-1 \right)}^{12}}\cdot \left(-4 \right)=-4\end{align}\]

Ответ: ${{A}_{2}}=-4$

Вот и всё! По сути, всё различие между дополнительным минором и алгебраическим дополнением — только в минусе спереди, да и то не всегда.

Теорема Лапласа

И вот мы пришли к тому, зачем, собственно, все эти миноры и алгебраические дополнения были нужны.

Теорема Лапласа о разложении определителя. Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрано $k$ строк (столбцов), причём $1\le k\le n-1$. Тогда определитель этой матрицы равен сумме всех произведений миноров порядка $k$, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения:

\[\left| A \right|=\sum{{{M}_{k}}\cdot {{A}_{k}}}\]

Причём таких слагаемых будет ровно $C_{n}^{k}$.

Ладно, ладно: про $C_{n}^{k}$ — это я уже понтуюсь, в оригинальной теореме Лапласа ничего такого не было. Но комбинаторику никто не отменял, и буквально беглый взгляд на условие позволит вам самостоятельно убедиться, что слагаемых будет именно столько.:)

Мы не будем её доказывать, хоть это и не представляет особой трудности — все выкладки сводятся к старым-добрым перестановкам и чётности/ нечётности инверсий. Тем не менее, доказательство будет представлено в отдельном параграфе, а сегодня у нас сугубо практический урок.

Поэтому переходим к частному случаю этой теоремы, когда миноры представляют собой отдельные клетки матрицы.

Разложение определителя по строке и столбцу

То, о чём сейчас пойдёт речь — как раз и есть основной инструмент работы с определителями, ради которого затевались вся эта дичь с перестановками, минорами и алгебраическими дополнениями.

Читайте и наслаждайтесь:

Следствие из Теоремы Лапласа (разложение определителя по строке/столбцу). Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрана одна строка. Минорами в этой строке будут $n$ отдельных клеток:

\[{{M}_{1}}={{a}_{ij}},\quad j=1,...,n\]

Дополнительные миноры тоже легко считаются: просто берём исходную матрицу и вычёркиваем строку и столбец, содержащие ${{a}_{ij}}$. Назовём такие миноры $M_{ij}^{*}$.

Для алгебраического дополнения ещё нужно число $S$, но в случае с минором порядка 1 это просто сумма «координат» клетки ${{a}_{ij}}$:

И тогда исходный определитель можно расписать через ${{a}_{ij}}$ и $M_{ij}^{*}$ согласно теореме Лапласа:

\[\left| A \right|=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}\cdot {{\left(-1 \right)}^{i+j}}\cdot {{M}_{ij}}}\]

Это и есть формула разложения определителя по строке . Но то же верно и для столбцов.

Из этого следствия можно сразу сформулировать несколько выводов:

1. Эта схема одинаково хорошо работает как для строк, так и для столбцов. На самом деле чаще всего разложение будет идти именно по столбцам, нежели по строкам.
2. Количество слагаемых в разложении всегда ровно $n$. Это существенно меньше $C_{n}^{k}$ и уж тем более $n!$.
3. Вместо одного определителя $\left[ n\times n \right]$ придётся считать несколько определителей размера на единицу меньше: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \right) \right]$.

Последний факт особенно важен. Например, вместо зверского определителя 4x4 теперь достаточно будет посчитать несколько определителей 3x3 — с ними мы уж как-нибудь справимся.:)

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Разложим этот определитель по первой строке:

\[\begin{align} \left| A \right|=1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 2\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 3\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end{matrix} \right|= & \\\end{align}\]

\[\begin{align} & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end{align}\]

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Для разнообразия давайте в этот раз работать со столбцами. Например, в последнем столбце присутствуют сразу два нуля — очевидно, это значительно сократит вычисления. Сейчас увидите почему.

Итак, раскладываем определитель по четвёртому столбцу:

\[\begin{align} \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=0\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right| & \\\end{align}\]

И тут — о, чудо! — два слагаемых сразу улетают коту под хвост, поскольку в них есть множитель «0». Остаётся ещё два определителя 3x3, с которыми мы легко разберёмся:

\[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end{align}\]

Возвращаемся к исходнику и находим ответ:

\[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Ну вот и всё. И никаких 4! = 24 слагаемых считать не пришлось.:)

Ответ: −2

Основные свойства определителя

В последней задаче мы видели, как наличие нулей в строках (столбцах) матрицы резко упрощает разложение определителя и вообще все вычисления. Возникает естественный вопрос: а нельзя ли сделать так, чтобы эти нули появились даже в той матрице, где их изначально не было?

Ответ однозначен: можно . И здесь нам на помощь приходят свойства определителя:

1. Если поменять две строчки (столбца) местами, определитель не изменится;
2. Если одну строку (столбец) умножить на число $k$, то весь определитель тоже умножится на число $k$;
3. Если взять одну строку и прибавить (вычесть) её сколько угодно раз из другой, определитель не изменится;
4. Если две строки определителя одинаковы, либо пропорциональны, либо одна из строк заполнена нулями, то весь определитель равен нулю;
5. Все указанные выше свойства верны и для столбцов.
6. При транспонировании матрицы определитель не меняется;
7. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Особую ценность представляет третье свойство: мы можем вычитать из одной строки (столбца) другую до тех пор, пока в нужных местах не появятся нули .

Чаще всего расчёты сводится к тому, чтобы «обнулить» весь столбец везде, кроме одного элемента, а затем разложить определитель по этому столбцу, получив матрицу размером на 1 меньше.

Давайте посмотрим, как это работает на практике:

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Нулей тут как бы вообще не наблюдается, поэтому можно «долбить» по любой строке или столбцу — объём вычислений будет примерно одинаковым. Давайте не будем мелочиться и «обнулим» первый столбец: в нём уже есть клетка с единицей, поэтому просто возьмём первую строчку и вычтем её 4 раза из второй, 3 раза из третьей и 2 раза из последней.

В результате мы получим новую матрицу, но её определитель будет тем же:

\[\begin{matrix} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end{matrix}= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \\\end{matrix} \right|= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right| \\\end{matrix}\]

Теперь с невозмутимостью Пятачка раскладываем этот определитель по первому столбцу:

\[\begin{matrix} 1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+1}}\cdot \left| ... \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+1}}\cdot \left| ... \right| \\\end{matrix}\]

Понятно, что «выживет» только первое слагаемое — в остальных я даже определители не выписывал, поскольку они всё равно умножаются на ноль. Коэффициент перед определителем равен единице, т.е. его можно не записывать.

Зато можно вынести «минусы» из всех трёх строк определителя. По сути, мы трижды вынесли множитель (−1):

\[\left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\]

Получили мелкий определитель 3x3, который уже можно посчитать по правилу треугольников. Но мы попробуем разложить и его по первому столбцу — благо в последней строчке гордо стоит единица:

\[\begin{align} & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\]

Можно, конечно, ещё поприкалываться и разложить матрицу 2x2 по строке (столбцу), но мы же с вами адекватны, поэтому просто посчитаем ответ:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\]

Вот так и разбиваются мечты. Всего-то −160 в ответе.:)

Ответ: −160.

Парочка замечаний перед тем, как мы перейдём к последней задаче:

1. Исходная матрица была симметрична относительно побочной диагонали. Все миноры в разложении тоже симметричны относительно той же побочной диагонали.
2. Строго говоря, мы могли вообще ничего не раскладывать, а просто привести матрицу к верхнетреугольному виду, когда под главной диагональю стоят сплошные нули. Тогда (в точном соответствии с геометрической интерпретацией, кстати) определитель равен произведению ${{a}_{ii}}$ — чисел на главной диагонали.

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Ну, тут первая строка прямо-таки напрашивается на «обнуление». Берём первый столбец и вычитаем ровно один раз из всех остальных:

\[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\]

Раскладываем по первой строке, а затем выносим общие множители из оставшихся строк:

\[\cdot \left| \begin{matrix} 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\]

Снова наблюдаем «красивые» числа, но уже в первом столбце — раскладываем определитель по нему:

\[\begin{align} & 240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}=240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end{align}\]

Порядок. Задача решена.

Ответ: 1440

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число kравносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, .

6) Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Минором элемента определителя – го порядка называют определитель – го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием - й строки и – го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Обозначение: .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя – го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если – четное число и со знаком минус в противном случае.

Обозначение: .

Теорема. (О разложении определителя.)

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

7) Обра́тная ма́трица - такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы , похожие на обратные по многим свойствам.

8)Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля

Обычно ранг матрицы обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба.

Свойства

Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M - базисный минор матрицы A, тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

СЕМИНАР 6

Вычисление определителей матриц, свойства определителей.

Вводная информация

Определитель матрицы.

Понятие определителя матрицы, который обозначается через или , имеет смысл только для квадратных матриц. Введем это понятие последовательно, увеличивая размерность матриц.

Пример.
.

Пример.

Определитель n -го порядка.

Определение. Минором элемента
-матрицы называется определитель
-го порядка, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы после вычеркивания в ней -ой строки и -го столбца. Минор элемента будем обозначать
.

Пример. Пусть
, тогда
.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется произведение
на минор
и обозначается , т.е.
.

Пример. Пусть
, тогда
.

Определение. Определителем -го порядка (или определителем матрицы ) называется число
, равное
. Формула
называется разложением определителя по -ой строке.

Пример. Разложим определитель по второй строке и вычислим его. .

Формула разложения определителя матрицы по -ому столбцу имеет вид
.

Пример. Разложим определитель по третьему столбцу и вычислим его. .

Свойства определителей .

Перечислим основные свойства определителей.

Пример.


.

8. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

9. Если элементы двух строк (столбцов) определителя с учетом их порядка пропорциональны друг другу, то определитель равен нулю.

10. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число , то величина определителя не изменится.

11. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Вычисление определителя методом разложения его по строке (столбцу) особенно эффективно, когда в этой строке (столбце) имеются нулевые элементы. Поэтому при вычислении определителей большой размерности целесообразно предварительно, используя перечисленные свойства определителей, сформировать такие строки (столбцы).

Пример.
/ прибавим третий столбец ко второму столбцу/
/ вычтем четвертую строку из третьей строки/
/ разложим определитель по второму столбцу/
/вычтем вторую строку из первой строки/
/прибавим третий столбец ко второму столбцу/
/разложим определитель по первой строке/
/ умножим первую строку на 2 и вычтем ее из второй строки/
/разложим определитель по первому столбцу/ .

Метод Гаусса .

В численных методах при вычислении определителей применяют метод Гаусса , основанный на приведении определителя с помощью указанных выше преобразований к треугольному виду.

Пример. Вычислим методом Гаусса тот же определитель, что и в предыдущем примере.
/ вычитая первую строку из второй, третьей и четвертой, делаем нулевыми элементы в них, стоящие в первом столбце (перед вычитанием из третьей строки умножим первую строку на 3)/
/ поменяем местами третью и четвертую строку/
/ умножим вторую строчку на и вычтем ее из четвертой строки/
/ вычтем третью строку из четвертой/
/используя свойства треугольной матрицы, вычисляем определитель/ .

Метод рекуррентных соотношений .

Если матрица, определитель которой мы вычисляем, имеет достаточную симметрию, можно использовать метод рекуррентных соотношений .

Пример. Вычислим методом рекуррентных соотношений определитель -го порядка

. Разложим его по последнему столбцу.


/ разложим теперь определитель во втором слагаемом по последней строке/

. Замечаем, что мы теперь имеем три определителя одинаковой структуры, но разной размерности. Если мы обозначим первоначальный определитель -го порядка через , то можно написать рекуррентное соотношение
. Чтобы воспользоваться этим соотношением, вычислим несколько первых определителей:
.

Заметим, что




. Следовательно, можно записать и т. д. Вычисление первых определителей дает общую формулу
. Чтобы завершить доказательство, проверим справедливость этой формулы методом математической индукции. Предполагая, что эта формула верна для определителя -го порядка, мы должны показать, что определитель
-го порядка равен
. Находим, используя рекуррентное соотношение, . Полученное выражение доказывает справедливость формулы
.

ЗАДАЧИ

1. Задачи удовлетворительного уровня сложности.

Вычислить определитель второго порядка.

6.1. . 6.2.
. 6.3. . 6.4.
. 6.5. . 6.6.
. 6.7.
. 6.8.
. 6.9.
.

6.10.
.

Решить уравнения.

6.11.
. 6.12.
. 6.13.
.

6.14.
. 6.15.
. 6.16.
.

Вычислить определители.

6.17. . 6.18. . 6.19.
. 6.20. .

6.21. . 6.22. . 6.23.
. 6.24. . 6.25. . 6.26.
.

Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу.

6.27. . 6.28. . 6.29. . 6.30. .

6.31. .

Решить уравнения и неравенство.

6.32.
. 6.33.
. 6.34.
.

Вычислить определители.

6.35.
. 6.36. . 6.37. .

6.38.
. 6.39.
. 6.40.
.

2. Задачи повышенного уровня сложности.

Вычислить определители.

6.41.
. 6.42.
.

6.43. . 6.44. .

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений.

6.45.
. 6.46.
.

6.47.
.

6.48. Не вычисляя определителей, показать, что они делятся на :

а) ; б) .

Вычислить, используя свойства определителей.

6.49.
. 6.50.
.

Можно поставить в соответствие некоторое число , вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем .

Необходимость введения понятия определителя - числа , характеризующего квадратную матрицу порядка n , тесно связано с решением систем линейных алгебраических уравнений .

Определитель матрицы А будем обозначать: |А | или D.

Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) называется элемент а 11 . Например, для А = (-4) имеем |А | = -4.

Определителем матрицы второго порядка называется число , определяемое по формуле

|А | = .

Например, |А | = .

Словами это правило можно записать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю , и произведения элементов, соединенных вершинами треугольников, у которых основание параллельно главной диагонали . С обратным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.

Например,

Определение определителя матрицы n -го порядка давать не будем, а лишь покажем метод его нахождения.

В дальнейшем, вместо слов определитель матрицы n -го порядка будем говорить просто определитель n -го порядка . Введем новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица n -го порядка.

Минором М ij элемента а ij матрицы А называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1) i+j:

А ij = (-1) i + j М ij ,

т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца - нечетное число.

Например, для элементов а 11 и а 12 матрицы А = миноры

М 11 = А 11 = ,

М 12 = ,

а А 12 = (-1) 1+2 М 12 = -8.

Теорема (о разложении определителя) . Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

|А | = а i1 A i1 + а i2 A i2 + … + а in A in ,
для любого i = 1, 2, …, n

|А | = а 1j A 1j + а 2j A 2j + … + а nj A nj ,

для любого j = 1, 2, …, n

Первая формула называется i -ой строки, а вторая - разложением определителя по элементам j -го столбца.

Нетрудно понять, что с помощью этих формул любой определитель n -го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых будет на 1 меньше и т.д. пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.

Для нахождения определителя могут быть применены следующие основные свойства:

1. Если какая-нибудь строка (или столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строками (или столбцами) равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если все строки и столбцы поменять местами.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (или к одному из столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.

7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Введение понятия определителя матрицы позволяет определить еще одно действие с матрицами - нахождение обратной матрицы.

Для каждого ненулевого числа существует обратное число, такое, что произведение этих чисел дает единицу. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица , т.е.

А ×А -1 = А -1 × А = Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица будет квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет свою обратную.

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали :

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Ответ.

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения . Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right| \leftarrow=a_{11} \cdot A_{11}+a_{12} \cdot A_{12}+a_{13} \cdot A_{13}=$

$1 \cdot(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {6} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+2 \cdot(-1)^{1+2} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {6} \\ {7} & {9}\end{array}\right|+3 \cdot(-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$

Ответ.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя : из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$

$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя , сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

$$\left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {0} & {4} & {8}\end{array}\right|=4 \cdot(-1)^{2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя , равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$