Как построить график с модулем и дробью. Графики функций с модулем
Эрднигоряева Марина
Данная работа является результатом изучения темы на факультативе в 8 классе. Здесь показываются геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Вводится понятие модуля и его свойства. Показано как строить графики с модулями различными способами: с помощью преобразований и на основе понятия модуля.Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах,изучается в классах с улгубленным изучением математики. Тем не меннн такие задания даются во второй части ГИА, в ЕГЭ. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных, но и других функций(квадратичных, обратно- пропорциональных и др.) Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Графики линейной функции с модулями Работа Эрднигоряевой Марины, ученицы 8 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики МКОУ « Камышовская ООШ» с. Камышово, 2013г.
Цель проекта: Ответить на вопрос как строить графики линейных функций с модулями. Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Изучить геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Изучить понятие модуля и его свойства. Научиться строить графики с модулями различными способами.
Прямая пропорциональность Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx , где x –независимая переменная, k -не равное нулю число.
Построим график функции y = x x 0 2 y 0 2
Геометрическое преобразование графиков Правило №1 График функции y = f (x)+ k – линейная функция - получается параллельным переносом графика функции y = f (x) на + k единиц вверх по оси О y при k> 0 или на |- k| единиц вниз по оси О y при k
Построим графики y=x+3 y=x-2
Правило № 2 График функции y=kf(x) получается растягиванием графика функции y = f (x) вдоль оси О y в a раз при a>1 и сжатием вдоль оси О y в a раз при 0Слайд 9
Построим график y=x y= 2 x
Правило № 3 График функции y =- f (x) получается симметричным отображением графика y = f (x) относительно оси О x
Правило № 4 График функции y=f(- x) получается симметричным отображением графика функции y = f (x) относительно оси О y
Правило № 5 График функции y=f(x+c) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси О x вправо, если c 0 .
Построим графики y=f(x) y=f(x+2)
Определение модуля Модуль неотрицательного числа а равен самому числу а; модуль отрицательного числа а равен противоположному ему положительному числу -а. Или, |а|=а, если а ≥0 |а|=-а, если а
Графики линейных функций с модулями строятся: с использованием геометрических преобразований с помощью раскрытия определения модуля.
Правило № 6 График функции y=|f(x)| получается следующим образом: часть графика y=f(x) , лежащая над осью О x , сохраняется; часть, лежащая под осью О x , отображается симметрично, относительно оси О x .
Построить график функции y=-2| x-3|+4 Строим y ₁=| x | Строим y₂= |x - 3 | → параллельный перенос на +3 единицы вдоль оси Ох (сдвиг вправо) Строим y ₃ =+2|x-3| → растягиваем вдоль оси О y в 2 раза = 2 y₂ Строим у ₄ =-2|x-3| → симметрия относительно оси абсцисс = - y₃ Строим y₅ =-2|x-3|+4 → параллельный перенос на +4 единицы вдоль оси О y (сдвиг вверх) = y ₄ +4
График функции y =-2|x-3|+4
График функции у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → растяжение в 3 раза y₃=3|x| +2= y₄+2 → сдвиг вверх на 2 единицы
Правило № 7 График функции y=f(| x |) получается из графика функции y=f(x) следующим образом: При x > 0 график функции сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси О y
Построить график функции y = || x-1 | -2 |
У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|
Алгоритм построения графика функции y=│f(│x│)│ построить график функции y=f(│x│) . далее оставить без изменений все части построенного графика, которые лежат выше оси x . части, расположенные ниже оси x , отобразить симметрично относительно этой оси.
У=|2|х|-3| Построение: а) у= 2х-3 для х >0, б) у=-2х-3 для х Слайд 26
Правило № 8 График зависимости | y|=f(x) получается из графика функции y=f(x) если все точки, для которых f(x) > 0 сохраняются и они же симметрично переносятся относительно оси абсцисс.
Построить множество точек на плоскости, декартовы координаты которых х и у удовлетворяют уравнению |у|=||х-1|-1|.
| y|=||x-1| -1| строим два графика 1) у=||х-1|-1| и 2) у =-|| х-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → сдвиг по оси Ох вправо на 1 единицу y₃ = | x -1 |- 1= → сдвиг на 1 единицу вниз y ₄ = || x-1|- 1| → симметрия точек графика для которых y₃ 0 относительно О x
График уравнения |y|=||x-1|-1| получаем следующим образом: 1)строим график функции y=f(x) и о с тавляем без изменений ту его часть, где y≥0 2) с помощью симметрии относительно оси Оx построим другую часть графика, соответствующую y
Построить график функции y =|x | − | 2 − x | . Решение. Здесь знак модуля входит в два различных слагаемых и его нужно снимать. 1) Найдём корни подмодульных выражений: х=0, 2-х=0, х=2 2) Установим знаки на интервалах:
График функции
Вывод Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах, изучается в классах по углубленному изучению курса математики. Тем не менее такие задания даются во второй части ГИА. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных функций, но и других функций(квадратичных, обратно пропорциональных и др.). Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ и позволит получить высокие баллы по математике.
Литература Виленкин Н.Я. , Жохов В.И.. Математика”. Учебник 6 класс Москва. Издательство “ Мнемозина”, 2010г Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. Пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – Москва. Просвещение, 2009 г Гайдуков И.И. “Абсолютная величина”. Москва. Просвещение, 1968. Гурский И.П. “Функции и построение графиков”. Москва. Просвещение, 1968. Ящина Н.В. Приёмы построения графиков, содержащих модули. Ж/л «Математика в школе»,№3,1994г Детская энциклопедия. Москва. «Педагогика», 1990. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987 . Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 301 с. Макрычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 кл.: Учебное пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением математики / Под редакцией Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с. Садыкина Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля /Математика. - №33. – 2004. – с.19-21 .. Кострикина Н.П “ Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов ”... Москва.: Просвещение, 2008г.
, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
- повторить построение графиков функций содержащих знак модуля;
- познакомиться с новым методом построения графика линейно-кусочной функции;
- закрепить новый метод при решении задач.
Оборудование:
- мультимедиа проектор,
- плакаты.
Ход урока
Актуализация знаний
На экране слайд 1 из презентации.
Что является графиком функции y=|x| ? (слайд 2).
(совокупность биссектрис 1 и 2 координатных углов)
Найдите соответствие между функциями и графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).
Рисунок 1
Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(x)| на примере функции y=|x 2 -2x-3| (слайд 4)
Ученик: чтобы построить график данной функции нужно
Построить параболу y=x 2 -2x-3
Рисунок 2
Рисунок 3
Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=f(|x|) на примере функции y=x 2 -2|x|-3 (слайд 6).
Построить параболу.
Часть графика при х 0 сохраняется и отображается симметрии относительно оси ОУ (слайд 7)
Рисунок 4
Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(|x|)| на примере функции y=|x 2 -2|x|-3| (слайд 8).
Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:
Нужно построить параболу у=x 2 -2x-3
Строим у= x 2 -2|x|-3, часть графика сохраняем и симметрично отображаем относительно ОУ
Часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)
Рисунок 5
Следующее задание выполняем письменно в тетрадях.
1. Построить график линейно-кусочной функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Ученик на доске с комментарием:
Находим нули подмодульных выражений х 1 =-2, х 2 =1, х 3 =3
Разбиваем ось на промежутки
Для каждого промежутка запишем функцию
при х < -2, у=-х-4
при -2 х<1, у=х
при 1 х<3, у = 3х-2
при х 3, у = х+4
Строим график линейно-кусочной функции.
Мы с вами построили график функции используя определение модуля (слайд 10).
Рисунок 6
Предлагаю вашему вниманию “метод вершин”, который позволяет строить график линейно-кусочной функции (слайд 11). Алгоритм построения дети записывают в тетрадь.
Метод вершин
Алгоритм:
- Найдем нули каждого подмодульного выражения
- Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
- Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно
2. Разберем этот метод на той же функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Учитель на доске, дети в тетрадях.
Метод вершин:
Найдем нули каждого подмодульного выражения;
Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно.
Графиком линейно-кусочной функции является ломанная с бесконечными крайними звеньями (слайд 12) .
Рисунок 7
Каким же методом график получается быстрее и легче?
3. Чтобы закрепить данный метод предлагаю выполнить следующее задание:
При каких значения х функция у=|х-2|-|х+1| принимает наибольшее значение.
Следуем алгоритму; ученик на доске.
у=|х-2|-|х+1|
х 1 =2, х 2 =-1
у(3)=1-4=3, соединяем последовательно точки.
4. Дополнительное задание
При каких значениях а уравнение ||4+x|-|x-2||=a имеет два корня.
5. Домашняя работа
а) При каких значениях Х функция у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| принимает наименьшее значение.
б) Построить график функции y=||x-1|-2|-3| .
, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
- повторить построение графиков функций содержащих знак модуля;
- познакомиться с новым методом построения графика линейно-кусочной функции;
- закрепить новый метод при решении задач.
Оборудование:
- мультимедиа проектор,
- плакаты.
Ход урока
Актуализация знаний
На экране слайд 1 из презентации.
Что является графиком функции y=|x| ? (слайд 2).
(совокупность биссектрис 1 и 2 координатных углов)
Найдите соответствие между функциями и графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).
Рисунок 1
Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(x)| на примере функции y=|x 2 -2x-3| (слайд 4)
Ученик: чтобы построить график данной функции нужно
Построить параболу y=x 2 -2x-3
Рисунок 2
Рисунок 3
Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=f(|x|) на примере функции y=x 2 -2|x|-3 (слайд 6).
Построить параболу.
Часть графика при х 0 сохраняется и отображается симметрии относительно оси ОУ (слайд 7)
Рисунок 4
Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(|x|)| на примере функции y=|x 2 -2|x|-3| (слайд 8).
Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:
Нужно построить параболу у=x 2 -2x-3
Строим у= x 2 -2|x|-3, часть графика сохраняем и симметрично отображаем относительно ОУ
Часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)
Рисунок 5
Следующее задание выполняем письменно в тетрадях.
1. Построить график линейно-кусочной функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Ученик на доске с комментарием:
Находим нули подмодульных выражений х 1 =-2, х 2 =1, х 3 =3
Разбиваем ось на промежутки
Для каждого промежутка запишем функцию
при х < -2, у=-х-4
при -2 х<1, у=х
при 1 х<3, у = 3х-2
при х 3, у = х+4
Строим график линейно-кусочной функции.
Мы с вами построили график функции используя определение модуля (слайд 10).
Рисунок 6
Предлагаю вашему вниманию “метод вершин”, который позволяет строить график линейно-кусочной функции (слайд 11). Алгоритм построения дети записывают в тетрадь.
Метод вершин
Алгоритм:
- Найдем нули каждого подмодульного выражения
- Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
- Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно
2. Разберем этот метод на той же функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Учитель на доске, дети в тетрадях.
Метод вершин:
Найдем нули каждого подмодульного выражения;
Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно.
Графиком линейно-кусочной функции является ломанная с бесконечными крайними звеньями (слайд 12) .
Рисунок 7
Каким же методом график получается быстрее и легче?
3. Чтобы закрепить данный метод предлагаю выполнить следующее задание:
При каких значения х функция у=|х-2|-|х+1| принимает наибольшее значение.
Следуем алгоритму; ученик на доске.
у=|х-2|-|х+1|
х 1 =2, х 2 =-1
у(3)=1-4=3, соединяем последовательно точки.
4. Дополнительное задание
При каких значениях а уравнение ||4+x|-|x-2||=a имеет два корня.
5. Домашняя работа
а) При каких значениях Х функция у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| принимает наименьшее значение.
б) Построить график функции y=||x-1|-2|-3| .
Функция вида y=|x|.
График функции на промежутке – с графиком функции у=-х.
Рассмотрим сначала простейший случай – функцию y=|x|. По определению модуля, имеем:
Таким образом, для х≥0 функция y=|x| совпадает с функцией у=х, а для х
Пользуясь этим разъяснением, легко построить график функции y=|x|(рис.1).
Легко заметить, что этот график является объединением той части графика функции у = х, которая лежит не ниже оси OX и линии, полученной зеркальным отражением относительно оси OX, той его части, которая лежит ниже оси OX.
Этот способ пригоден и для построения графика функции y=|kx+b|.
Если график функции y=kx+b изображен на рис.2, то графиком функции y=|kx+b| является линия, изображенная на рис.3.
Пример 1.
Построить график функции y=||1-x 2 |-3|.
Построим график функции y=1-x 2 и применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).
Выполним сдвиг графика вниз на 3.
Применим операцию «модуль» и получим окончательный график функции y=||1-x 2 |-3|
Пример 2.
Построить график функции y=||x 2 -2x|-3|.
В результате преобразования получаем y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Построим график функции y=(x-1) 2 -1: строим параболу y=x 2 и выполняем сдвиг вправо на 1 и вниз на 1.
Применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).
Выполним сдвиг графика вниз на 3 и применим операцию «модуль», в результате получим окончательный график.
Пример 3.
Построить график функции .
Чтобы раскрыть модуль, надо рассмотреть два случая:
1)x>0, тогда модуль раскроется со знаком "+" =
2)x =
Построим график для первого случая.
Отбросим часть графика, где x
Построим график для второго случая и аналогично отбросим часть, где x>0, в итоге получим.
Соединим два графика и получим окончательный.
Пример 4.
Построить график функции .
Построим сначала график функции .Для этого удобно выделить целую часть, получим . Строя по таблице значений, получаем график.
Применим операцию модуль (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX). Получаем окончательный график
Пример 5. Построить график функции y=|-x 2 +6x-8|. Cначала упростим функцию до y=1-(x-3) 2 и построим её график
Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика ниже оси OX, относительно оси OX
Пример 6. Построить график функции y=-x 2 +6|x|-8. Также упростим функцию до y=1-(x-3) 2 и построим её график
Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее оси оY, в левую часть
Пример 7.
Построить график функции 
. Построим график функции
Построим график функции
Выполним параллельный перенос на 3 единичных отрезка вправо и 2 вверх. График примет вид:
Применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее прямой x=3 в левую полуплоскость.
